《数学模型(第五版)》学习笔记（1） 第1章 建立数学模型 第2章 初等模型

参考数学建模论坛《数学模型(第三版)》学习笔记
http://www.madio.net/thread-146480-1-1.html
参考视频 数模视频（姜启源、谢金星）
https://www.bilibili.com/video/BV1VJ411w7r3/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.0&vd_source=3ef6540f8473c7367625a53b7b77fd66

https://www.bilibili.com/video/BV14b411n7ju?p=4&vd_source=3ef6540f8473c7367625a53b7b77fd66

写在开始
今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的都是
整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点：
“实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了；
(二)
模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的求解似乎是家常便饭了；
(三)
用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业学生）。#

  从上周六继续自学《数学模型》开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。
 也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~ 2 j) 
                                                                                                             ——Tony Sun   July 2012, TJU# H4 S

第1章 建立数学模型

关键词：数学模型 意义 特点

第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常，数学模型有严谨的特点，而且我们可以根据建模实际需要改变模型，成本也比较低；同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。

椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子，用简单的数学进行描述、建模分析，给数学模型一个最好的诠释：用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。

什么是数学模型

数学模型是指用数学语言和符号对实际问题进行描述、分析和解决的抽象表示。它是一种将现实世界中的问题转化为数学形式的工具，以便通过数学方法进行研究和预测。数学模型可以帮助我们理解复杂的系统、预测未来的趋势、优化决策和指导实际操作。

数学模型通常由数学方程、符号和关系组成，它们可以描述问题中的变量之间的关联、规律和约束。根据问题的性质和要求，数学模型可以是线性的或非线性的，可以是连续的或离散的，可以是确定性的或随机的等等。常见的数学模型包括方程模型、图论模型、统计模型、优化模型等等。

使用数学模型可以通过建立假设和简化条件，将复杂的现实问题转化为可计算的形式，从而利用数学方法进行分析和求解。通过数学模型，我们可以预测天气变化、研究经济趋势、设计工程结构、优化生产过程等等。数学模型在科学研究、工程应用、经济管理等领域中都有广泛的应用。

怎样学习数学建模

椅子放稳模型

椅子放稳模型是一种数学模型，用于分析椅子在放置过程中的稳定性。这个模型可以用来确定椅子是否会倾倒或者失去平衡，并评估椅子放置的稳定性。

在这个模型中，我们需要考虑以下几个因素：

1. 重心位置：椅子的稳定性与其重心位置有关。如果重心落在底部的支撑基准内部，椅子将保持稳定。然而，如果重心偏离支撑基准，椅子可能会倾倒。

2. 支撑面积：支撑面积是指椅子底部与地面接触的区域。支撑面积越大，椅子越稳定，因为它能够提供更多的支撑力来抵抗倾倒的力矩。支撑面积可以通过椅子腿的形状、长度以及底部结构等因素来确定。

3. 摩擦力：摩擦力是指椅子底部与地面之间的摩擦阻力。摩擦力可以增加椅子的稳定性，因为它可以提供额外的阻力来抵抗倾倒的力矩。

基于上述因素，我们可以建立一个简化的数学模型来分析椅子的放稳情况。这个模型可以使用平衡方程、力矩方程和静摩擦力等概念来描述。

需要注意的是，实际情况可能更加复杂，还需要考虑到椅子的形状、材料属性、负载分布等因素。因此，具体的椅子放稳分析可能需要更详细的模型和计算方法。这里只是对椅子放稳模型的简要说明。



当分析椅子放稳模型时，我们可以采用以下步骤：

1. 定义坐标系：选择适当的坐标系，以便能够清楚地描述椅子的位置和方向。

2. 确定重心位置：根据椅子的几何形状和材料分布，计算出椅子的重心位置。重心通常是通过平均椅子各个部分的质量分布得出的。

3. 确定支撑面积：根据椅子底部的结构和腿的形状、长度等信息，确定支撑面积。支撑面积可以近似为椅子底部的投影面积。

4. 考虑摩擦力：根据地面和椅子底部的材料特性，考虑摩擦力的影响。摩擦力可以提供额外的阻力来抵抗倾倒的力矩。

5. 应用平衡方程：在椅子放置的静态条件下，应用平衡方程来分析椅子的稳定性。平衡方程要求所有合力和合力矩为零。这意味着重力矩、摩擦力矩和其他外部力矩之间必须达到平衡。

6. 求解稳定性条件：根据平衡方程，求解稳定性条件。通过评估椅子的倾倒角度、重心位置和支撑面积之间的关系，可以确定椅子是否足够稳定。

需要指出的是，这个模型是一个简化的理论模型，它假设了一些理想化的条件，如光滑地面、均匀质量分布等。在实际情况中，还需要考虑其他因素，如地面的不均匀性、椅子的变形、外部扰动等。

因此，在实际应用中，可能需要基于更详细的几何形状和材料特性建立更精确的模型，采用数值计算或实验方法进行分析和验证。

第2章 初等模型

关键词：初等数学 简化技巧 思想
这一章顾名思义，是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型，虽然数学知识比较易懂，但是其中的巧妙思想确实十分重要的。
如何把问题做恰当的简化，到简单的数学工具能够表示、求解的程度，本章做出了很好的例子，同时分析也很精彩。

光盘的数据容量

当我们讨论光盘的数据容量时，可以使用以下数学模型进行分析。

1. 基本参数：光盘的数据容量取决于几个基本参数，包括：

   • 光盘直径（D）：表示光盘的物理直径。
   • 轨道间距（S）：表示相邻数据轨道之间的距离。轨道间距通常是固定的，不同类型的光盘会有不同的轨道间距。
   • 单位区块大小（B）：表示光盘用于存储数据的最小单位的大小。单位区块大小通常是固定的，典型值为2KB或4KB。

2. 数据存储方式：光盘的数据存储方式通常是通过在盘片上刻写或蒸镀一系列微小的凹槽或点来实现的。我们可以假设光盘的数据是通过一系列同心圆形轨道来组织的。

3. 数据密度公式：基于上述参数，我们可以使用如下公式计算光盘的数据容量：

   • 每个轨道的数据容量（Ct）= π * (D/2)^2 * (1-S/D) * B
   • 光盘的总数据容量（C）= Ct * N
     其中，N表示光盘上的轨道数。轨道数是光盘的一个属性，不同类型的光盘会有不同的轨道数。

需要注意的是，上述模型是一个基于理想化假设的简化模型。实际情况中，还需要考虑到光盘表面的可用面积、编码方式、纠错码等因素，以及潜在的数据存储空间损失等。

此外，不同类型的光盘（如CD、DVD、蓝光光盘）具有不同的物理参数和存储技术，因此它们的数据容量模型也会有所不同。具体的计算方法可以根据所讨论的光盘类型和相关规格进行调整。

2.1节公平席位分配

通过定义不公平程度等衡量标准，确立目标，提出Q值法。有意思的是，在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时，根据所提出的4个（毋庸置疑的）公理，得出的结论却是：不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。 这给我们什么启示呢？有些问题和工作，比如公平席位的分配，日常中是一定要做的，就算不能达到绝对公平也要分配，但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时，我们还有分配的意义吗？答案不一；在这个例子中，固然是有意义的，我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法，抑或，就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”，看能否通过删改公理来取得更公平方案。

录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型，均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析，这里每个例子中的分析，求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键，阐述现象。

2.7 实物交换——是后面经济学模型的雏形

无差别曲线的图形方法，确定这种曲线实际中要收集大量的数据；核军备竞赛一节，也是一个动态的变化过程，基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想，得出表达式后，许多时候我们只关注曲线的形状、趋势，因此作图分析是很好的方法，图中可以给我们很多信息（交点，截距，极限值……），而这些信息都一一对应着它们的实际意义；有些即使没有明显的含义，但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。

2.10 量纲分析与无量纲化

是另一种重要的求解方法，大致来说思想就是：仅知道变量之间的制约关系（正/负相关），系数、阶数均未知，即只能得出表达式的“形式”，要我们通过“量纲齐次性”（等式两端必须保持量纲的一致）来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法，这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。 关键：恰当地选择特征尺度，不仅可以减少独立参数的个数，还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。

第2章小结：
本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”，10节涉及了不同类型的问题、数学方法，很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。

核军备竞赛

天气预报评价模型

天气预报评价模型是为了评估天气预报的准确性和可靠性而设计的。以下是一种可能的天气预报评价模型的示例：

1. 数据采集：收集实际观测数据和天气预报数据。这包括大气压力、温度、湿度、风速和降水量等。可以使用多个观测站点的数据来代表不同地区的天气情况。

2. 数据预处理：对采集到的数据进行清洗和处理。这包括去除异常值、填充缺失数据以及对日期和时间进行标准化。

3. 特征提取：从原始数据中提取有用的特征。这可能涉及计算统计指标，如均值、方差和极值，或者从时间序列中提取周期性模式。

4. 模型建立：选择合适的机器学习或统计模型来建立天气预报评价模型。常见的模型包括线性回归、决策树、随机森林、支持向量机或深度学习模型等。模型的选择应基于问题的复杂性和可用数据的特点。

5. 模型训练和验证：使用历史数据进行模型训练，并使用交叉验证或留出法对模型进行验证。这可以帮助评估模型的性能并进行参数调优。

6. 模型评估：使用测试数据对训练好的模型进行评估。常用的评估指标包括均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）、决定系数（R²）等。

7. 结果解释和可视化：对评估结果进行解释和可视化，以便更好地理解模型的性能和预测能力。可以生成精度-召回率曲线、预测误差分布图或时间序列预测图等。

需要注意的是，天气预报评价模型的设计和实现是一个复杂的任务，需要考虑到数据质量、模型选择、特征工程和评估方法等多个因素。在实际应用中，还可能涉及更高级的技术，如集合预报、概率预报和模型融合等。