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leetcode343整数拆分

343. 整数拆分 - 力扣（Leetcode）

这道题要求将一个整数拆分成k个正整数的乘积最大化

例如2，可以拆分为1+1，那么他们的乘积最大话就是1*1 = 1

问题来了：如何拆分？是拆分成2个数还是拆分为3个数？

这里就要运用动态规划的解法。 

老样子！

动态规划五部曲：

1.确定dp数组的含义： 

dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

dp[i]的定义讲贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥！

2.确定递推公式：

可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？

其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].

一个是j * (i - j) 直接相乘。

一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。

为什么不拆分j呢？

j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。

如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。

所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});

那么在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？

因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。

3.dp的初始化

 

这里我们初始化dp[0] = 0 ,因为0是没办法拆分的，dp[1] = 1,1也是没办法拆分的，dp[2]= 1是可以拆分为1*1的，所以是有意义的，那么现在i就要从3开始取到n+1

这里我们可以把j的范围限制在range(1，i/2+1）,这里为什么取1/2呢，因为我们想要取乘积最大的话，需要尽可能的把这个n拆分为m个近似的整数，例如 6 拆成 3 * 3， 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的。只不过我们不知道m究竟是多少而已，但可以明确的是m一定大于等于2，既然m大于等于，也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值。（这其实是一个数学证明）那么后面就不用管了，我们最差都是拆成两个数相乘为最大值，如果后面还有那肯定不是最大值。

4.确定遍历顺序

确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。

5.推导dp数组

 代码：

def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[2] = 1
        for i in range(3, n + 1):
            # 假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1 <= j < i），则有以下两种方案：
            # 1) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * (i-j)
            # 2) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * dp[i-j]
            for j in range(1, i // 2 + 1):
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
        return dp[n]