泊松重建算法原理介绍

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1、泊松重建算法

  泊松重建是Kazhdan M在2006年提出的基于八叉树和泊松方程的一种网格三维重建算法。其本质是一种隐函数表面重建算法，在空间中用一个表面来区分内外，直观理解为表面外、表面内。用0、1来表示内外表面，可以简单理解为若某一元素属于这个集合则为1，即表面内，若某一元素不属于这个集合则为0，即表面外。这个关系就是Kazhdan M提出的指示函数，利用指示函数，可以对空间内部的所有有效指示函数实现梯度计算，通过求解这个函数提取等值面，得到表面的过程，即构建泊松方程并对其求解的过程。
  在论述泊松重建之前，首先对算法内用到的八叉树进行了研究。八叉树是指，若树非空，那么树中任意节点的子节点要么为0个要么为8个，是用来表示三维空间的树状数据结构。任意一个立方体可以最少被分为八个等分的小立方体，用八叉树的每个节点可以表示每个小立方体，这八个字节点合起来就是其父节点表。如图1所示：

图1 八叉树对空间区域的划分

  将场景点云数据利用八叉树划分空间区域，将每个点放到正方形的空间里，设定某一阈值，如果该正方形内的数据点超过这个阈值，就将该正方体再次划分，直到每个小正方体包含的点数小于或等于这个阙值，每个小正方体就是一个叶节点，记其最大深度为D，用以存储目标物体的点云数据。
  以八叉树的结构存储实验获取的点云数据，极大地方便了算法在实现过程中数据的存储及检索。

2、泊松重建核心思想及原理

（1）核心思想
  泊松重建的核心思想为：将物体区分为几何体内部和几何体外部，物体点云数据的法向量可以标示内部和外部，通过隐式地拟合该物体的指示函数，得到该物体表面的估计，即通过将物体表面的离散的点的信息转化到连续的表面函数上，从而构建出表面。
  设某一物体为$M$，该物体的表面为$\delta M$，其指数函数${\chi }_M$为：
$${\chi }_M(x)=\{\begin{array}{l}0,x\notin M\\ 1,\in M\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中点云法向量与${\chi }_M$的关系如图2所示：

图2 泊松重建的基本函数关系

  指数函数${\chi }_M$为分段函数，表示$q_0$在表面内其值为1，在表面外的点其值为0。显然，若得到每一个点$q_0$的${\chi }_M(q_0)$，即可知道整个物体的表面。
  如果直接插值得到${\chi }_M(q_0)$显然是不可能的，因为${\chi }_M$不具有连续性，直接插值得到0到1之间的没有意义，因此不能使用该算法。可以先用平滑滤波函数平滑指数函数。
（2）法向量到梯度空间
  首先，先用平滑函数$\bar{F}$来平滑${\chi }_M$，对于任意点$p\in \delta M$，定义$N_{\delta M}(p)$为指向内侧的表面法向量，规定$F(q)$为平滑滤波器，$F(q-p)$表示$F$沿$p$方向的位移，因为指示函数${\chi }_M$不好求导，可以利用${\chi }_M\ast \bar{F}$两个函数的卷积的倒数近似求解${\chi }_M$，即：
$$\Delta ({\chi }_M\ast \bar{F})(q_0)=\Delta {|}_{q=q_0}{\int }_M\bar{F}(q-p)dp={\int }_{\delta M}\bar{F}(q_0-p)N_{\delta M}(p)dp\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中，*为卷积，此处为平滑滤波。这样就完成了从点云数据法向量到梯度空间的求解。
（3）梯度空间到向量场
  由于物体表面点的离散性，$N$对于表面每个点$q$未必都是已知的，即$N_{\delta M}(p)$的分布是未知的，可以利用分段近似解决这个问题，通过观察$P=(p_i,n_i)$来近似。
  初始离散样本点集记为$S$，$s$为$S$中的一个点$(s\in S)$，$s$包含位置信息$(s.p)$和法向量信息$(s.N)$。将$\delta M$按照空间划分成不同表面区域$\delta s$，并且$s\in S$，$\delta s\subset \delta M$。式(2)可以转化为积分求和，其中每个小的积分可以近似为常函数，可以用$s.p$对应的函数和$\delta s$的面积的积分代替，如下式：
$$\Delta ({\chi }_M\ast \bar{F})(q_0)=\sum _{s\in S}{\int }_{\delta s}\bar{F}{N}_{\delta M}(p)dp\approx \sum _{s\in S}|\delta s|\bar{F}(q-s.p)s.N=V(q)\text{\hspace{1em}(3)}$$
  假设样本点是均匀分布的，那么$|\delta s|$即为常数可以省略，通过离散近似，由式(3) 即可得到向量空间$V$。
（4）转化为泊松方程
  向量空间$V$和指数函数${\chi }_M$满足下式，即为最终需要求解的问题：
$$\Delta \chi =V\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中如果直接求解$\chi$需要求解积分，向量空间$V$不一定是无旋场，通常意义上不能积分，将式(4)两边进行求导运算，得到式(5)：
$$\Delta \chi =\Delta \cdot V=\Delta \cdot \Delta \chi \text{\hspace{1em}(5)}$$
  其中，$\Delta$为拉普拉斯算子，$\Delta \cdot$为散度算子，上式为泊松方程，$\chi$是要求解的函数，上式意思是梯度的散度等于向量场的散度。方程的解可以用拉普拉斯方程基本解与函数卷积求出，即可找到指示函数。

3、泊松算法流程

  泊松重建的输入是带有法向量的点云数据，在上一章节中已经完成了对点云数据法向量的求解，算法输出的是三角网格模型，其算法流程如下图所示：

图3 泊松重建流程

1. 构建八叉树$g$，存储点云数据，八叉树节点深度记为D，每一个节点$o\in g$;
2. 设置函数空间$F$为: $F(x,y,z)=(B(x)B(y)B(z){)}^{\ast n}$，其中$\ast n$表示$n$次卷积，所有的节点$o$均有对应的空间函数$F$。