线性规划模型
1、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表1所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，此外还有以下的限制：
（1） 政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
（2） 所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；
（3） 所购证券的平均年限不超过5年。
问：
（1） 若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2） 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3） 在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
（1）
问题分析
分配资金达到利润最大化
基本模型
决策变量：设分别投资ABCDE证券x1、x2、x3、x4、x5万元
目标函数：设总税前收益为z万元
z = 0.043x1 + 0.500.054x2 + 0.50.05x3 + 0.50.044x4 + 0.045x5
约束条件
政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，
x2 + x3 + x4 >= 400
所购证券的平均信用等级不超过1.4，
2x1 + 2x2 + x3 + x4 + 5x5 <= 1.4(x1 + x2 + x3 + x4 + x5)
所购证券的平均年限不超过5年
9x1 + 15x2 + 4x3 + 3x4 + 2x5 <= 5(x1 + x2 + x3 + x4 + x5)
该经理有1000万元
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 <= 1000
模型求解
用LINGO软件求解
model:
max = 0.043x1 + 0.500.054x2+ 0.50.05x3 + 0.50.044x4+ 0.045x5;
x2 + x3 + x4 >= 400;
2x1 + 2x2 + x3 + x4 + 5x5 <= 1.4(x1 + x2 + x3 + x4 + x5);
9x1 + 15x2 + 4x3 + 3x4 + 2x5 <= 5(x1 + x2 + x3 + x4 + x5);
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 <= 1000;
end
输入并求解，可得如下输出：
Global optimal solution found.
Objective value: 29.83636
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 3
Elapsed runtime seconds: 0.31
Model Class: LP
Total variables: 5
Nonlinear variables: 0
Integer variables: 0
Total constraints: 5
Nonlinear constraints: 0
Total nonzeros: 23
Nonlinear nonzeros: 0
Variable Value Reduced Cost
X1 218.1818 0.000000
X2 0.000000 0.3018182E-01
X3 736.3636 0.000000
X4 0.000000 0.6363636E-03
X5 45.45455 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 29.83636 1.000000
2 336.3636 0.000000
3 0.000000 0.6181818E-02
4 0.000000 0.2363636E-02
5 0.000000 0.2983636E-01
最优解为x1=218.1818，x2=0，x3=736.3636，x4=0， x5=45.45455，最优值为z=29.83636，
即购入A证券218.1818万元，购入C证券736.3636万元，购入E证券45.45455万元，可得到税前收益29.83636万元。
（2）
因为（1）收益为2.983636%，大于2.75%，所以经理应借100万元投资
将目标函数修改为z=0.043x1 + 0.500.054x2 + 0.50.05x3 + 0.50.044x4 + 0.045x5-2.75
将约束条件该经理有1000万元修改为x1 + x2 + x3 + x4 + x5 <= 1100
经过LINGO求解可得
最优解为x1=240，x2=0，x3=810，x4=0， x5=50，最优值为z=30.07000，即购入A证券240万元，购入C证券810万元，购入E证券50万元，可得到税前收益=30.07000万元。
（3）
灵敏度分析
Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges:
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease
X1 0.4300000E-01 0.3500000E-02 0.1300000E-01
X2 0.2700000E-01 0.3018182E-01 INFINITY
X3 0.2500000E-01 0.1733333E-01 0.5600000E-03
X4 0.2200000E-01 0.6363636E-03 INFINITY
X5 0.4500000E-01 0.5200000E-01 0.1400000E-01
Righthand Side Ranges:
Current Allowable Allowable
Row RHS Increase Decrease
2 400.0000 336.3636 INFINITY
3 0.000000 1057.143 200.0000
4 0.000000 1000.000 1200.000
5 1000.000 INFINITY 456.7901
A证券的利率为4.15%4.65%投资方式不需要改变，所以证券A的税前收益增加为4.5%，投资不需要改变；C证券的利率为4.4885%8. 4666%投资方式不需要改变，所以若证券C的税前收益减少为4.8%，投资要改变。
2、一家出版社在准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图1上，每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应带建在何处，才能使所能供应的大学生数量最大？建立该为题的证书线性规划模型并求解。
问题分析 两个销售代理能使所能供应的大学生数量最大
基本模型
建立分区
设 各方案供应人数分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11
建立销售点所能供应大学生数量关系
目标函数：供应的大学生数量
z=64x12 + 76x13+ 71x23 + 50x24+ 85x25 + 63x34 + 77x45 + 39x46+
92x47 + 74x56+ 89*x67 ;
约束条件：最多两个销售点
x12 + x13+ x23 + x24+ x25 + x34 + x45 + x46+ x47 + x56+ x67 <= 2;
约束条件：每个销售点与相邻供应一个相邻销售点
x12 + x13 <= 1;
x12 + x23 + x24+ x25 <= 1;
x13+ x23+ x34 <= 1;
x24+x34 + x45 + x46+ x47 <= 1;
x25 +x45 + x56 <= 1;
x46+ x56+ x67 <= 1;
x47+ x67 <= 1;
约束条件：每个地区销售点最多一个
X ij=0或1
模型求解
用LINGO软件求解
model:
max = 64x12 + 76x13+ 71x23 + 50x24+ 85x25 + 63x34 + 77x45 + 39x46+
92x47 + 74x56+ 89*x67 ;
x12 + x13+ x23 + x24+ x25 + x34 + x45 + x46+ x47 + x56+ x67 <= 2;
x12 + x13 <= 1;
x12 + x23 + x24+ x25 <= 1;
x13+ x23+ x34 <= 1;
x24+x34 + x45 + x46+ x47 <= 1;
x25 +x45 + x56 <= 1;
x46+ x56+ x67 <= 1;
x47+ x67 <= 1;
@bin(x12);@bin(x13);@bin(x23);@bin(x24);@bin(x25);@bin(x34);@bin(x45);@bin(x46);@bin(x47);@bin(x56);@bin(x67);
End
输入并求解，可得如下输出：
Global optimal solution found.
Objective value: 177.0000
Objective bound: 177.0000
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 0
Elapsed runtime seconds: 0.06
Model Class: PILP
Total variables: 11
Nonlinear variables: 0
Integer variables: 11
Total constraints: 9
Nonlinear constraints: 0
Total nonzeros: 44
Nonlinear nonzeros: 0
Variable Value Reduced Cost
X12 0.000000 -64.00000
X13 0.000000 -76.00000
X23 0.000000 -71.00000
X24 0.000000 -50.00000
X25 1.000000 -85.00000
X34 0.000000 -63.00000
X45 0.000000 -77.00000
X46 0.000000 -39.00000
X47 1.000000 -92.00000
X56 0.000000 -74.00000
X67 0.000000 -89.00000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 177.0000 1.000000
2 0.000000 0.000000
3 1.000000 0.000000
4 0.000000 0.000000
5 1.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000 0.000000
8 1.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
最优解为x25=1，x47=1，最优值为z=177，
即在2区或5区建立销售点，建立29千人区和56千人区的销售关系，并且在4区或7区建立销售点，建立21千人区和71千人区的销售关系，可以使得两个销售代理能使所能供应的大学生数量最大为177千人。