【高阶数据结构】——并查集

并查集的原理

在一些应用问题中，需要将n个不同的元素划分成一些不相交的集合。开始时，每个元素自成一个单元素集合, 然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并。在此过程中要反复用到查询某一个元素归属于那个集合的运算。适合于描述这类问题的抽象数据类型称为 并查集(union-find set)。

并查集建立映射关系的一种方法：

template <class T>
class UnionFindSet
{
public:
	UnionFindSet(const T* a, size_t n)
	{
		for (size_t i = 0; i < n; i++)
		{
			// 建立映射关系
			_a.push_back(a[i]);
			_indexMap[a[i]] = i;
		}
	}
private:
	vector<T> _a; //编号找人
	map<T, int> _indexMap; //人找编号
};

举个栗子：

比如：某公司今年校招全国总共招生10人，西安招4人，成都招3人，武汉招3人，10个人来自不同的学校，起先互不相识，每个学生都是一个独立的小团体，现给这些学生进行编号：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 给以下数组用来存储该小集体，数组中的数字代表：该小集体中具有成员的个数。(负号下文解释)

毕业后，学生们要去公司上班，每个地方的学生自发组织成小分队一起上路，于是：西安学生小分队 s1={0,6,7,8}，成都学生小分队 s2={1,4,9}，武汉学生小分队 s3={2,3,5} 就相互认识了，10个人形成了三个小团体。假设右三个群主0,1,2担任队长，负责大家的出行。

一趟火车之旅后，每个小分队成员就互相熟悉，称为了一个朋友圈。

从上图可以看出：编号6,7,8同学属于0号小分队，该小分队中有4人(包含队长0)；编号为4和9的同学属于1号小分队，该小分队有3人(包含队长1)，编号为3和5的同学属于2号小分队，该小分队有3个人(包含队长1)。仔细观察数组中内融化，可以得出以下结论：

1. 数组的下标对应集合中元素的编号
2. 数组中如果为负数，负号代表根，数字代表该集合中元素个数
3. 数组中如果为非负数，代表该元素双亲在数组中的下标

现在0集合有7个人，2集合有3个人，总共两个朋友圈。

通过以上例子可知，并查集一般可以解决一下问题：

1. 查找元素属于哪个集合
   沿着数组表示树形关系以上一直找到根(即：树中中元素为负数的位置)
2. 查看两个元素是否属于同一个集合
   沿着数组表示的树形关系往上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在
3. 将两个集合归并成一个集合
   将两个集合中的元素合并
   将一个集合名称改成另一个集合的名称
4. 集合的个数
   遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数。

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并查集的实现

class UnionFindSet
{
public:
	UnionFindSet(int size)
		:_set(size, -1)
	{}

	//查询
	size_t FindRoot(int x)
	{
		int root = x;
		while (_set[root] >= 0)
		{
			root = _set[root];
		}

		//压缩路径（优化）
		while (_set[x] >= 0)
		{
			int parent = _set[x];
			_set[x] = root;
			x = parent;
		}

		return root;
	}

	//合并两个集合
	void Union(int x1, int x2)
	{
		int root1 = FindRoot(x1);
		int root2 = FindRoot(x2);

		if (root1 != root2) //不属于一个集合，将二者合并
		{
			//将节点少的集合合并到节点多的集合当中（优化）
			if (abs(_set[root1]) < abs(_set[root2]))
				swap(root1, root2);

			_set[root1] += _set[root2];
			_set[root2] = root1;
		}
	}
	
	// 判断x1和x2是否在同一个集合中
	bool Insert(int x1, int x2)
	{
		return FindRoot(x1) == FindRoot(x2);
	}
	
	//查看set中有多少对集合
	size_t SetCount()
	{
		size_t cnt = 0;
		for (auto e : _set)
			if (e < 0) cnt++;
		return cnt;
	}

private:
	vector<int> _set;
};

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并查集的应用

省份数量

//并查集代码
class Solution {
public:
    int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
        UnionFindSet ufs(isConnected.size());
        for(size_t i = 0; i < isConnected.size(); i++)
        {
            for(size_t j = 0; j < isConnected[i].size(); j++)
            {
                if(isConnected[i][j] == 1)
                    ufs.Union(i,j);
            }
        }
        return ufs.SetCount();
    }
};

当我们没有实现并查集时，其实也是可以直接使用数组模拟的。

class Solution {
public:
    size_t FindRoot(int x)
    {
        while(ufs[x] >= 0)
        {
            x = ufs[x];
        }
        return x;
    }
    int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
        ufs.resize(isConnected.size(), -1);
        for(int i = 0; i < isConnected.size(); i++)
        {
            for(int j = 0; j < isConnected[i].size(); j++)
            {
                if(isConnected[i][j] == 1)
                {
                    int root1 = FindRoot(i);
                    int root2 = FindRoot(j);
                    if(root1 != root2)
                    {
                        if(abs(ufs[root1]) < abs(ufs[root2]))
                            swap(root1, root2);
                        ufs[root1] += ufs[root2];
                        ufs[root2] = root1;
                    }
                }
            }
        }
        int cnt = 0;
        for(auto& e : ufs)
            if(e < 0) cnt++;
        return cnt;            
    }
private:
    vector<int> ufs;
};

等式方程的可满足性

class Solution {
public:
    int Find(int x)
    {
        while(ufs[x] >= 0)
            x = ufs[x];
        return x;
    }
    bool equationsPossible(vector<string>& equations) {
        ufs.resize(26, -1);
        for(auto& str : equations)
        {
            if(str[1] == '=')
            {
                int root1 = Find(str[0]-'a');
                int root2 = Find(str[3]-'a');
                if(root1 != root2)
                {
                    if(abs(ufs[root1]) < abs(ufs[root2]))
                        swap(root1, root2);
                    ufs[root1] += ufs[root2];
                    ufs[root2] = root1;
                }
            }
        }
        for(auto& str : equations)
        {
            if(str[1] == '!')
            {
                int root1 = Find(str[0]-'a');
                int root2 = Find(str[3]-'a');
                if(root1 == root2)
                    return false;
            }
        }
        return true;
    }
private:
    vector<int> ufs;
};

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