同一段数据分别做傅里叶变化和逆变换的结果及分析

• 已知有公式
  $$DFT：X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-\frac{j2\pi kn}{N}}，0\le k\le N-1$$
  $$IDFT：x[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]e^{\frac{j2\pi kn}{N}}，0\le n\le N-1$$
• 则对同一段数据 $s(a),0\le a\le A-1$ 做 DFT 和 IDFT，有
  $$DFT：X[k]=\sum _{a=0}^{A-1}s[a]e^{-\frac{j2\pi ka}{N}}，0\le k\le A-1$$
  $$IDFT：x[n]=\frac{1}{A}\sum _{a=0}^{A-1}s[a]e^{\frac{j2\pi an}{N}}，0\le n\le A-1$$
  从公式结果上可见，对同一段数据做 DFT 和 IDFT，结果在幅度上相差 数据长度 倍的关系，相位上互为相反数。
• 下面通过仿真进行验证上述结论。

clear;
clc;
clf;
close all;

%% [生成信号]
Fs=50;             % 采样频率
n=100;             % 采样点数
f1=15;             % 信号1的频率
f2=20;             % 信号2的频率
t=0:1/Fs:(n-1)/Fs; % 采样时间索引
x=1.56+2*sin(2*pi*f1*t+pi/2)+1.6*sin(2*pi*f2*t); % 采样后的信号

%%% DFT
y1=fft(x,n);
y1=[y1(1)/n,y1(2:n)*2/n]; % 幅度轴
f=(0:n-1)*Fs/n;           % 频率轴
%%% IDFT
y2=ifft(x,n);
y2=[y2(1)/n,y2(2:n)*2/n]; % 幅度轴
f=(0:n-1)*Fs/n;           % 频率轴

%% [FFT的频谱图]
subplot(2,2,1);
plot(f,abs(y1));
xlabel("频率");
ylabel("幅值");
title("FFT的频谱图");
subplot(2,2,2);
stem(f,  angle(y1)*180/pi);   %绘制相频响应曲线，注意这将弧度转换成了角度
xlabel("频率");
ylabel("相位");
title("FFT的相位图");

%% [IFFT的频谱图]
subplot(2,2,3);
plot(f,abs(y2));
xlabel("频率");
ylabel("幅值");
title("IFFT的频谱图");
subplot(2,2,4);
stem(f,  angle(y2)*180/pi);   %绘制相频响应曲线，注意这将弧度转换成了角度
xlabel("频率");
ylabel("相位");
title("IFFT的相位图");