【python】动态规划算法学习：0-1背包问题 -牛客网HJ16 购物单

题目HJ16 购物单

描述
王强决定把年终奖用于购物，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件，且每件物品只能购买一次。
每个主件可以有 0 个、 1 个或 2 个附件。附件不再有从属于自己的附件。
王强查到了每件物品的价格（都是 10 元的整数倍），而他只有 N 元的预算。除此之外，他给每件物品规定了一个重要度，用整数 1 ~ 5 表示。他希望在花费不超过 N 元的前提下，使自己的满意度达到最大。
满意度是指所购买的每件物品的价格与重要度的乘积的总和，假设设第ii件物品的价格为v[i]v[i]，重要度为w[i]w[i]，共选中了kk件物品，编号依次为j1,j2,…,jkj1​,j2​,…,jk​，则满意度为：v[j1]∗w[j1]+v[j2]∗w[j2]+…+v[jk]∗w[jk]v[j1​]∗w[j1​]+v[j2​]∗w[j2​]+…+v[jk​]∗w[jk​]。（其中 * 为乘号）
请你帮助王强计算可获得的最大的满意度。

输入描述：
输入的第 1 行，为两个正整数N，m，用一个空格隔开：
（其中 N （ N<32000 ）表示总钱数， m （m <60 ）为可购买的物品的个数。）
从第 2 行到第 m+1 行，第 j 行给出了编号为 j-1 的物品的基本数据，每行有 3 个非负整数 v p q
（其中 v 表示该物品的价格（ v<10000 ）， p 表示该物品的重要度（ 1 ~ 5 ）， q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0 ，表示该物品为主件，如果 q>0 ，表示该物品为附件， q 是所属主件的编号）

输出描述：
输出一个正整数，为张强可以获得的最大的满意度。
示例1
输入：

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

输出：
2200

问题理解

由于附件依赖于主件，附件不可能单独存在，也就是说附件的出现其实是主件的其它形态而已
一般地，我们考虑当金钱总额为j，而物件数量（主件）为i的情况。在这种情况下，能获得的最大满意度为：dp[i][j]
那么，dp[i][j] = max(不放置物品i，放置物品i)
而，
不放置物品i = dp[i-1][j]
放置物品i = 扣除物品i后的背包最大满意度 + 物品i价值 = dp[i-1][j - w[i]] + v[i]
但由题意，本题主件可能会以其它几种形式出现，即携带各种附件的组合后的花费及价值，因此放置物品i（主件i）的最大满意度实际上为：
放置物品i = max((dp[i-1][j - w[i]] + v[i]),(dp[i-1][j - w’[i]] + v’[i]),(dp[i-1][j - w’‘[i]] + v’'[i]),…)，j - w[i] ≥ 0
也就是在所有满足约束的组合中取最优值

代码

本题已明确至多含有两种附件，因此可直接在条件中使用if判断来枚举搭配情况。
下面代码考虑了主件可能含有多种附件的情况，使用二进制法枚举出所有附件搭配情况进行dp，因此其实会有稍微的超时。

total_money,obj_num = map(int,input().split())

w_master_arr = []
w_slave_arr = []
v_master_arr = []
v_slave_arr = []
m_s_map = {}

master_line_map = {}
slave_info_arr = []
for i in range(obj_num):
    w,v,master_line = map(int,input().split())
    if(master_line == 0):
        w_master_arr.append(w)
        v_master_arr.append(w*v)
        master_line_map[len(w_master_arr)] = i+1
    else:
        w_slave_arr.append(w)
        v_slave_arr.append(w*v)
        if(master_line not in m_s_map): m_s_map[master_line] = []
        m_s_map[master_line].append(len(w_slave_arr))

dp_map = [[0]*(total_money+1)]
for i in range(1,len(w_master_arr)+1):
    dp_map.append([0]*(total_money+1))
    for j in range(1,total_money+1):
        dp_candidates = []
        dp_candidates.append(dp_map[i-1][j])
        slave_objs = m_s_map[master_line_map[i]] if master_line_map[i] in m_s_map else []

        slave_combinations = []
        for k in range(1<<len(slave_objs)):
            w_cnt = w_master_arr[i-1]
            v_cnt = v_master_arr[i-1]
            for l,slave_obj in enumerate(slave_objs):
                if(k&(2**l) == 0): continue
                w_cnt += w_slave_arr[slave_obj-1]
                v_cnt += v_slave_arr[slave_obj-1]
            if(w_cnt > j): continue
            dp_candidates.append((dp_map[i-1][j-w_cnt]) + v_cnt)
        dp_map[i][j] = max(dp_candidates)

print(dp_map[len(w_master_arr)][total_money])

将以上代码改为为本题做特定化判定，不超时：

total_money,obj_num = map(int,input().split())

w_master_arr = []
w_slave_arr = []
v_master_arr = []
v_slave_arr = []
m_s_map = {}

master_line_map = {}
slave_info_arr = []
for i in range(obj_num):
    w,v,master_line = map(int,input().split())
    if(master_line == 0):
        w_master_arr.append(w)
        v_master_arr.append(w*v)
        master_line_map[len(w_master_arr)] = i+1
    else:
        w_slave_arr.append(w)
        v_slave_arr.append(w*v)
        if(master_line not in m_s_map): m_s_map[master_line] = []
        m_s_map[master_line].append(len(w_slave_arr))

dp_map = []
for i in range(len(w_master_arr)+1): dp_map.append([0]*(total_money+1))

for j in range(1,total_money+1):
    for i in range(1,len(w_master_arr)+1):
        dp_map[i][j] = dp_map[i-1][j]
        slave_objs = m_s_map[master_line_map[i]] if master_line_map[i] in m_s_map else []

        w_cnt = w_master_arr[i-1]
        if(w_cnt > j): continue
        v_cnt = v_master_arr[i-1]
        v_sum = (dp_map[i-1][j-w_cnt]) + v_cnt
        if(v_sum > dp_map[i][j]): dp_map[i][j] = v_sum

        if(master_line_map[i] not in m_s_map): continue

        continue_flag = False
        for slave_obj in m_s_map[master_line_map[i]]:
            temp_w_cnt = w_cnt + w_slave_arr[slave_obj-1]
            if(temp_w_cnt > j):
                continue_flag = True
                continue
            temp_v_cnt = v_cnt + v_slave_arr[slave_obj-1]
            v_sum = (dp_map[i-1][j-temp_w_cnt]) + temp_v_cnt
            if(v_sum > dp_map[i][j]): dp_map[i][j] = v_sum

        if(continue_flag or len(m_s_map[master_line_map[i]]) == 1): continue
        w_cnt += w_slave_arr[m_s_map[master_line_map[i]][0] - 1] + w_slave_arr[m_s_map[master_line_map[i]][1] - 1]
        if(w_cnt > j): continue
        v_cnt += v_slave_arr[m_s_map[master_line_map[i]][0] - 1] + v_slave_arr[m_s_map[master_line_map[i]][1] - 1]
        v_sum = (dp_map[i-1][j-w_cnt]) + v_cnt
        if(v_sum > dp_map[i][j]): dp_map[i][j] = v_sum

print(dp_map[len(w_master_arr)][total_money])

另一个结论就是，dp矩阵的i,j遍历顺序是没影响的，因为高下标的dp依赖于低的dp，因此保证遍历顺序在一个维度上从小到大就好。