LeetCode刷题日记2022-1-20/2029. 石子游戏 IX-博弈论

题目描述

Alice 和 Bob 再次设计了一款新的石子游戏。现有一行 n 个石子，每个石子都有一个关联的数字表示它的价值。给你一个整数数组 stones ，其中 stones[i] 是第 i 个石子的价值。

Alice 和 Bob 轮流进行自己的回合，Alice 先手。每一回合，玩家需要从 stones 中移除任一石子。

如果玩家移除石子后，导致 所有已移除石子 的价值 总和 可以被 3 整除，那么该玩家就 输掉游戏 。
如果不满足上一条，且移除后没有任何剩余的石子，那么 Bob 将会直接获胜（即便是在 Alice 的回合）。
假设两位玩家均采用 最佳 决策。如果 Alice 获胜，返回 true ；如果 Bob 获胜，返回 false 。

示例 1：

输入：stones = [2,1]
输出：true
解释：游戏进行如下：
- 回合 1：Alice 可以移除任意一个石子。
- 回合 2：Bob 移除剩下的石子。 
已移除的石子的值总和为 1 + 2 = 3 且可以被 3 整除。因此，Bob 输，Alice 获胜。

示例 2：

输入：stones = [2]
输出：false
解释：Alice 会移除唯一一个石子，已移除石子的值总和为 2 。 
由于所有石子都已移除，且值总和无法被 3 整除，Bob 获胜。

示例 3：

输入：stones = [5,1,2,4,3]
输出：false
解释：Bob 总会获胜。其中一种可能的游戏进行方式如下：
- 回合 1：Alice 可以移除值为 1 的第 2 个石子。已移除石子值总和为 1 。
- 回合 2：Bob 可以移除值为 3 的第 5 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 = 4 。
- 回合 3：Alices 可以移除值为 4 的第 4 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 + 4 = 8 。
- 回合 4：Bob 可以移除值为 2 的第 3 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 + 4 + 2 = 10.
- 回合 5：Alice 可以移除值为 5 的第 1 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 + 4 + 2 + 5 = 15.
Alice 输掉游戏，因为已移除石子值总和（15）可以被 3 整除，Bob 获胜。

提示：

• 1 <= stones.length <= 105
• 1 <= stones[i] <= 104

题解思路

根据石头除以3的余数不同 我们可以将石头分为三种类型

石子的值除以 3 的余数分别为 0, 1, 2

对于0类型的石头

• 其为偶数的时候 不影响局面
• 因为这时Alice选择移除一个类型 0 的石子，将同样的局面交给 Bob。如果类型 0 的石子还没有移除完，那么 Bob 同样可以通过移除一个类型 0 的石子将局面重新交给 Alice。这样不断地往复下去。
• 其为奇数的时候
• 那么胜负情况等价于只有 1 个类型 0 的石子的胜负情况

对于1、2类型的石头 有以下两种情况

• 如果 Alice 首先移除类型 1 的石子，那么 Bob 只能移除类型 1 的石子，在这之后 Alice 只能移除类型 2 的石子，Bob 同样只能移除类型 1 的石子。以此类推，移除石子的类型序列为：

1121212121⋯

• 如果 Alice 首先移除类型 2的石子，我们可以类似得到移除石子的类型序列为：

2212121212⋯

观察上述可以得出

• 当0类型的石子为偶数的时候 且1、2类型石子都存在时候 Alice先手选择1、2类型中数量较少的石子时 Alice胜利

• 当0类型的石子为奇数的时候 且1、2类型石子其中一类超过另一类数量2个的时候 Alice先手数量最多的一类胜利

题解代码

class Solution:
    def stoneGameIX(self, stones: List[int]) -> bool:
        num0=num1=num2=0

        for val in stones:
            a=val%3
            if a==0:
                num0+=1
            elif a==1:
                num1+=1
            else:
                num2+=1
        
        if num0%2==0:
            return num1>=1 and num2>=1
        return num1-num2>2 or num2-num1>2