【分圆多项式（Cyclotomic Polynomial）】的计算，逐步讲解，一目了然

1 分圆多项式的理解

互素或互质(Coprime Integers): 若整数$a$与整数$b$的唯一公约数为$1$，则称$a$与$b$互素或互质(coprime integers)。因此，任何能整除$a$的质数都不能整除$b$，反之亦然。也即两者的最大公约数(Greatest Common Divisor, GCD)为$1$。

简单描述：分圆多项式可以简单理解为多项式$x^n-1$分解后，所得的不可约多项式。

正式定义为：在数论中，对于任意正整数$n$，$n$次分圆多项式(nth cyclotomic polynomial)是一个具有整数系数的唯一不可约多项式${\varphi }_n(x)$(the unique irreducible polynomial with integer coefficients)。其中，对于任何$k<n$, ${\varphi }_n(x)$是$x^n-1$的一个因子，但不是$x^k-1$的一个因子。该分园多项式的根为n次原语单元根(nth primitive roots of unity) $e^{2i\pi \frac{k}{n}}$，其中，$k$为不大于$n$的正整数，且$k$与$n$为互质数。换句话说，$n$次分圆多项式(nth cyclotomic polynomial)为：

${\varphi }_n(x)=\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le k\le n}{gcd(k,n)=1}}(x-e^{2i\pi \frac{k}{n}})$

2 举例说明计算方式

因计算过程中，常使用到$cos/sin$的计算，结合下图可快速得出它们的结果。

复数计算1：由于$e^{i\theta }=cos(\theta )+i\cdot sin(\theta )$，可得$e^{2i\pi \frac{k}{n}}=cos(2\pi \frac{k}{n})+i\cdot sin(2\pi \frac{k}{n})$
复数计算2：$i^2=-1$

2.1 演算${\varphi }_1(x)=x-1$

• 仅存在一种情况：$n=1,k=1$
  因$cos(2\pi )+i\cdot sin(2\pi )=1$，所以${\varphi }_1(x)=x-1$

2.2 演算${\varphi }_2(x)=x+1$

• 仅存在一种情况：$n=2,k=1$
  因$cos(\pi )+i\cdot sin(\pi )=-1$，所以${\varphi }_2(x)=x+1$

2.3 演算${\varphi }_3(x)=x^2+x+1$

• 情况$1$：$n=3,k=1$
  因$cos(\frac{2\pi }{3})+i\cdot sin(\frac{2\pi }{3})=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot i$
• 情况$2$：$n=3,k=2$
  因$cos(\frac{4\pi }{3})+i\cdot sin(\frac{4\pi }{3})=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot i$

所以${\varphi }_3(x)=(x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot i)\cdot (x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot i)=(x+\frac{1}{2}{)}^2-(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot i{)}^2=x^2+x+\frac{1}{4}-(-\frac{3}{4})=x^2+x+1$

2.4 演算${\varphi }_4(x)=x^2+1$

• 情况$1$：$n=4,k=1$
  因$cos(\frac{\pi }{2})+i\cdot sin(\frac{\pi }{2})=i$
• 情况$2$：$n=4,k=3$
  因$cos(\frac{3\pi }{2})+i\cdot sin(\frac{3\pi }{2})=-i$

所以${\varphi }_4(x)=(x-i)\cdot (x+i)=x^2-(-1)=x^2+1$

同理，可得${\varphi }_5(x),{\varphi }_6(x)...$

综述，从$1$到$30$的分圆多项式为：

参考材料

• Wikipedia: Cyclotomic Polynomial