C++---树形DP---树的最长路径（每日一道算法2023.5.4）

注意事项：
本题为"树与图的DFS深度优先遍历—树的重心"的近似题，同时涉及到 单链表模拟邻接表存储图 的操作，建议先理解那篇文章。

题目：
给定一棵树，树中包含 n 个结点（编号1~n）和 n−1 条无向边，每条边都有一个权值。
现在请你找到树中的一条最长路径。
换句话说，要找到一条路径，使得使得路径两端的点的距离最远。
注意：路径中可以只包含一个点。

输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n−1 行，每行包含三个整数 ai,bi,ci，表示点 ai 和 bi 之间存在一条权值为 ci 的边。

输出格式
输出一个整数，表示树的最长路径的长度。

数据范围
1≤n≤10000,
1≤ai,bi≤n,
−1e5≤ci≤1e5

输入:
6
5 1 6
1 4 5
6 3 9
2 6 8
6 1 7

输出：
22

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 10010, M = N*2;
int n, ans;                              //ans存储最终答案
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx = 0;     //单链表模拟邻接表

//邻接表增加一条边
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    w[idx] = c;
    h[a] = idx++;
}

//dfs数位dp，u是当前节点，f是当前节点的上一个节点(父节点)
int dfs(int u, int f) {
    int dist = 0;  //从当前点往下走的最大长度
    int d1 = 0, d2 = 0;   //表示挂在当前点上的最长路径d1和次长距离d2

    //枚举当前点i能到达的所有子节点j(遍历单链表)
    for (int i = h[u]; i!=-1; i=ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (j == f) continue;   //由于是无向边，从a到b和从b到a都能走，但我们希望只能向下走，所以不能走回父节点

        int d = dfs(j, u) + w[i];   //子节点j往下走的最大长度 + j到i的边权
        dist = max(dist, d);

        //两种情况: 1.如果d大于等于d1，原本的最长路径就变为了次长路径，再把d存为最长路径 / 2.如果d不大于d1，但大于d2，直接更新即可
        if (d >= d1) {d2 = d1, d1 = d;}
        else if (d > d2) {d2 = d;}
    }

    ans = max(ans, d1+d2);    //d1+d2得到的就是穿过当前这个点的最长路径，因为一条最长向下的路 + 一条次长向下的路，合起来就是最长的路
    return dist;
}

int main() {
    //读入
    cin >> n;
    memset(h, -1, sizeof h);  //所有链头都指向-1即可
    for (int i = 0; i<n-1; i++) {  //n-1条无向边
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c); add(b, a, c);
    }

    dfs(1, -1);     //初始父节点随便设个不存在的就行
    cout << ans;

    return 0;
}

思路：
整体的思路不算难，首先，树可以被"拎起来"，也就是可以随意挑一个点为根节点，
剩下的点都向下延申 (大家都见过二叉树吧？长得差不多，只不过可以有多个子节点)。

可以通过dfs来枚举所有路径的"最高"节点，假设当前路径为1-2-3，最高节点是2，
如何找到最高点为2的所有路径中的最长路径?
就是找到所有从节点2往下延申的路径中最长的那条和次长的那条，加起来即为答案，
dfs返回的是当前节点向下延申的最长路径，这样如果有多个子节点，就可以直接比较dfs+w[i,j]的返回结果即可。

还有更新最长和次长路径时会遇到的情况：
1.如果新的路径d大于等于d1，原本的最长路径就变为了次长路径，再把d存为最长路径
2.如果d不大于d1，但大于d2，直接更新即可

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声明：
算法思路来源为y总，详细请见https://www.acwing.com/
本文仅用作学习记录和交流