【动态规划】从入门到实践---动态规划详解
目录
1.动态规划概念
一.定义数组元素的含义
二.找到数组元素之间的关系表达式
三.找到初始值
2.案例详解
一：爬楼梯
1.定义数组元素的含义
2.找到数组元素之间的关系表达式
3.找到初始值
案例二：最短路径
题目：
做题步骤：
1.定义数组的含义
2.找到数组元素之间的关系表达式
3.找到初始值
代码展示：
1.动态规划概念
动态规划就是利用历史记录，来避免我们进行重复计算，而这些历史记录，我们需要用一些变量来保存，一般使用一维数组或者二维数组，下面我们来说动态规划最重要的三个步骤：
一.定义数组元素的含义
因为我们需要用一个数组来保存历史数据，那么最重要的来了，需要保存的历史数据是什么？
也就是数组内存放的元素含义是什么？
二.找到数组元素之间的关系表达式
也就是说，我们可以利用数组中保存的历史数据推理计算出来新的元素值，所以我们要找到数组之间元素的关系表达式，例如dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]这就是一个关系表达式，然而这一步，恰恰是动态规划中最难的一步了
三.找到初始值
学过数学的人都知道，虽然我们拥有了元素之间的关系表达式，知道了dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，但是我们还得知道初始值啊，不然一直往前推，推到不能再分解的时候，我们不知到初始元素的值，怎么计算所有的元素值呢？
拥有了初始值，也拥有了数组之间的关系式，我们就可以计算出dp[n]的值了，dp[n]的值是由我们自己来定义的，我们想求得什么，我们就定义什么，这样就能解出题了
2.案例详解
一：爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
示例 1：
输入：n = 2 输出：2 解释：有两种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 2. 2 阶
示例 2：
输入：n = 3 输出：3 解释：有三种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶 2. 1 阶 + 2 阶 3. 2 阶 + 1 阶
1.定义数组元素的含义
首先我们来定义dp[i]的含义，既然我们要算出爬上楼顶需要多少种不同的方法，那么我们就可以定义dp[i]为爬到第i曾一共需要多少种方法？这样我们算出dp[i]就等于算出了最终的结果
2.找到数组元素之间的关系表达式
动态规划就是把一个大问题不停的分解成子问题，然后由子问题推导出大问题，这道题我们需要求的是dp[n]，那么我们需要寻找dp[n]与历史数据之间的关系
这也是最最最难的一步：
这道题我们在爬楼梯时可以选择爬一级，也可以选择爬两级，所以我们爬到楼顶时有两种方式，
一种是从n-1级爬上来
一种时从n-2级爬上来
所以可得关系表达式为：dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]
3.找到初始值
这道题我们可以直观地看出dp[0] = 1,dp[1] = 1;
现在我们可以来写代码了：
public int climbStairs(int n) {
int [] dp = new int[n + 1];
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}案例二：最短路径
大部分动态规划都是需要用二维数组来解答的，所以这部分也格外重要
题目：
给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例 1：
输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]] 输出：7 解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
提示：
m == grid.lengthn == grid[i].length1 <= m, n <= 2000 <= grid[i][j] <= 100
做题步骤：
1.定义数组的含义
求什么就怎么定义，所以我们定义数组dp[i][j]为当从左上角走到（i，j）这个位置时的最短路径，那么dp[m-1][n-1]就是我们所要求的答案
2.找到数组元素之间的关系表达式
由于题目中表示，每次只能向下或者向右移动一步，
第一种情况：当我们所处位置在上边界或者左边界时，我们只有一个方向的路可以选择，
此时状态转移方程为:
1.处于上边界 i = 0时 dp[i][j] = dp[i][j-1] + grid[i][j]
2.处于左边界 j = 0时 dp[i][j] = dp[i-1][j] + grid[i][j]
第二种情况既不处于左边界又不处于上边界
一共有两种方式可以到达（i，j）这个位置，
一种是从（i-1)(j）向右走一步到达
一种是从（i)(j-1）向下走一步到达
我们需要计算最短路径，所以关系式为 dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + grid[i][j]
3.找到初始值
此题的初始值即为dp[0][0] = grid[0][0]
代码展示：
public int minPathSum(int[][] grid) {
int m = grid.length;
int n = grid[0].length;
int [][] dp = new int[m][n];
dp[0][0] = grid[0][0];
for(int i = 0; i < m; i++) {
for(int j = 0; j < n; j++) {
if(i == 0 && j == 0) {
continue;
} else if (i == 0) {
dp[i][j] = dp[i][j-1] + grid[i][j];
} else if(j == 0) {
dp[i][j] = dp[i-1][j] + grid[i][j];
} else {
dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + grid[i][j];
}
}
}
return dp[m-1][n-1];
}学习并非一朝一夕的事情，所以即使我们懂得了动态规划的原理，但还是需要日复一日的刷题，最终才能量变引起质变，达到熟练的效果