AA@根与系数的关系定理@一次多项式的韦达定理

韦达定理Vieta’s formulas

• 在数学上，韦达定理是一个公式 (英语：Vieta’s formulas)，给出多项式方程的根与系数的关系，因而又被代称为根与系数。该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达发现，并因此得名。韦达定理常用于代数领域。

• 韦达定理的实用之处在于，它提供一个不用直接把根解出来的方法来计算根之间的关系。

• 设 $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ 是一个一元 $n$ 次实(或复)系数多项式(首项系数 $a_n\ne 0$,否则就是某个低于$n$次的$r$次多项式($r<n$)

  • 令 P 的 n 个根为 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，则根 $\{x_i\}$和系数 $\{a_j\}$之间满足关系式

  $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+\cdots +x_{n-1}+x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\\ (x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_1{x}_n)+(x_2{x}_3+x_2{x}_4+\cdots +x_2{x}_n)+\cdots +x_{n-1}{x}_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\ ⋮\\ x_1{x}_2\dots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}\end{array}$$

• 等价的说，对任何 $k=1,2,...,n$，系数比 $\frac{a_{n-k}}{a_n}$ 是所有任取 k 个根的乘积的和的 $(-1{)}^k$ 倍，即

  • $$\sum _{1⩽i_1<i_2<\cdots <i_k⩽n}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$$

    • 其中 $i_1<i_2<\cdots <i_k$ 是要让所有的根的组合都恰好出现一次。
    • 也可以理解为,从$x_1,\cdots ,x_n$种不放回抽取n个元素的所有取法,共有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$种,意味着求和式有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$项
    • 等号的左边被称作是初等对称多项式。

  • $$\{\begin{array}{l}{a}_{n-1}=(-1{)}^1{a}_n(x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}+x_n)\\ a_{n-2}=(-1{)}^2{a}_n\left((x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_1{x}_n)+(x_2{x}_3+x_2{x}_4+\cdots +x_2{x}_n)+\cdots +x_{n-1}{x}_n\right)\\ ⋮\\ a_0=(-1{)}^n{a}_n{x}_1{x}_2\dots x_n\end{array}$$

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证明

• 设 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是一元 n 次多项式 $M(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ 的 n 个根。

• 于是有$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)$

• 根据乘法原理展开右式，比较等号两边的各项系数可得

  • $$\{\begin{array}{l}{a}_{n-1}=(-1{)}^1{a}_n(x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}+x_n)\\ a_{n-2}=(-1{)}^2{a}_n\left((x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_1{x}_n)+(x_2{x}_3+x_2{x}_4+\cdots +x_2{x}_n)+\cdots +x_{n-1}{x}_n\right)\\ ⋮\\ a_0=(-1{)}^n{a}_n{x}_1{x}_2\dots x_n\end{array}$$

• 上式等同于韦达定理的另一种叙述方式

常见特例

一元二次多项式(n=2)

• 设$f(x)=a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$由代数基本定理可知,一元二次多项式有2个复根,分别设为$x_1,x_2$
  • $a_1=(-1{)}^1{a}_2(x_1+x_2)$=$-a_2(x_1+x_2)$
  • $a_0=(-1{)}^2{a}_n(x_1{x}_2)$=$a_2(x_1{x}_2)$
  • 转变一下形式,就得到初中阶段学习的形式:
    • $x_1+x_2=-\frac{a_1}{a_2}$
    • $x_1{x}_2=\frac{a_0}{a_2}$
  • 不过仅仅是二次的时候,更习惯将表达式系数用a,b,c表示写作$f(x)=a{x}^2+bx+c$
    • $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
    • $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

一元三次方程(n=3)

• 设 $x_1,x_2,x_3$ 是一元三次多项式 $a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ 的三根，则:
  • $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},$
  • $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a},$
  • $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$