自由度的理解
自由度
在 SLAM 算法里，我们会经常看到自由度这个概念，例如单应矩阵的自由度是8，基础矩阵的自由度是7，但是用旋转矩阵表达的旋转的自由度却是3。我一开始也很迷茫，什么是自由度啊？后面就慢慢理解了一点。
自由度，可以理解为独立信息的维度。下面是一个例子：
小明考了三门课程，语文、数学和英语，三门课程( n = 3 n = 3 n=3)的平均分是60分( x ˉ = 60 \bar{x} = 60 xˉ=60)。我们需要求三门课程的分数分别是多少。
在这个问题下，自由度 F 是多少？
是 3 吗？不是，是 2。为什么？
由于存在条件 x ˉ \bar{x} xˉ 的限制，在我们猜三门分数的时候，只能猜两门课程的分数。为什么？
因为有条件 x ˉ = 60 \bar{x} = 60 xˉ=60 的约束，我们固定两门分数时，第三门一定是也固定下来的。因此自由度 F = 2 F=2 F=2 。
一般的情况下，自由度等于变量个数减1， F = n − 1 F = n -1 F=n−1。
例如计算方差的公式：
S 2 = ∑ ( x i − x ˉ ) 2 n − 1 S^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1} S2=n−1∑(xi−xˉ)2
右式的分母是自由度， F = n − 1 F = n - 1 F=n−1
为什么是 n − 1 n - 1 n−1 而不是 n n n?
因为分子存在平均值 x ˉ \bar{x} xˉ，已经用掉了一个自由度。因此，剩下的有用信息是n-1维，而不是n维。
单应矩阵
单应矩阵的推导以后写吧，这里直接给出矩阵形式的求解公式：
[ 0 0 0 − u 1 − v 1 − 1 u 1 v 2 v 1 v 2 v 2 u 1 v 1 1 0 0 0 − u 1 u 2 − v 1 u 2 − u 2 ] [ h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 8 h 9 ] = 0 \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & -u_1 & -v_1 & -1 & u_1v_2 & v_1v_2 & v_2 \\ u_1 & v_1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -u_1u_2 & -v_1u_2 & -u_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}h_1 \\ h_2 \\ h_3 \\ h_4 \\ h_5 \\ h_6 \\ h_7 \\ h_8 \\h_9 \end{bmatrix} = 0 [0u10v101−u10−v10−10u1v2−u1u2v1v2−v1u2v2−u2] h1h2h3h4h5h6h7h8h9 =0
单应矩阵 H 3 x 3 H_{3x3} H3x3 一共有 9 个元素，那么它的自由度是多少呢？
公式左右两边同时乘以一个不为 0 的数，公式都恒成立。这叫尺度等价性，这里固定了一个自由度，因此单应矩阵的自由度 F = 9 − 1 = 8 F = 9 - 1 = 8 F=9−1=8
自由度是 8，因此需要提供 8 个值进行解算，然后一对匹配点可以通过 2 个值，因此只需要 4 对匹配点就可以解算单应矩阵。见单应矩阵应用，就是用了 4 对点进行计算。
基础矩阵
基础矩阵的矩阵形式求解公式如下：
[ u 1 u 2 v 1 u 2 u 2 u 1 v 2 v 1 v 2 v 2 u 1 v 1 1 ] [ f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 ] = 0 \begin{bmatrix} u_1u_2 & v_1u_2 & u_2 & u_1v_2 & v_1v_2 & v_2 & u_1 & v_1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \\ f_4 \\ f_5 \\ f_6 \\ f_7 \\ f_8 \\f_9 \end{bmatrix} = 0 [u1u2v1u2u2u1v2v1v2v2u1v11] f1f2f3f4f5f6f7f8f9 =0
基础矩阵 F 3 x 3 F_{3x3} F3x3 一共有 9 个元素，但是它有两个约束：
- 尺度等价性
- 基础矩阵的秩为2
因此，基础矩阵的自由度为 9 − 2 = 7 9 - 2 = 7 9−2=7。
因此，最少7对匹配点就可以算出基础矩阵，但是在ORB_SLAM里用了 8 对点。计算方法可见：基础矩阵计算
其他碎碎念
旋转矩阵表示的旋转，自由度是 3 ，但是旋转矩阵有 9 个元素，因此旋转矩阵是冗余的。
但是如果只用 3 个元素表达旋转，例如旋转向量和欧拉角，存在奇异性，有些时候会丢失一个自由度。
因此表达 3 个自由度的旋转，最少需要 4 个元素，SLAM里用的就是大名鼎鼎的 四元数
本质矩阵 E 3 x 3 E_{3x3} E3x3也有9个元素，但是它的自由度为5。为什么？
E = t × R E = t \times R E=t×R，其中平移有3个自由度，而旋转也有3个自由度，因此6个值便可以固定一个本质矩阵。
但是由于 P ~ c 1 T E P ~ c 2 = 0 \tilde{P}_{c1}^T E \tilde{P}_{c2} = 0 P~c1TEP~c2=0对极几何的约束，基础矩阵也存在尺度等价性，因此自由度等于3 + 3 - 1 = 5。
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b站视频：自由度的解释