自由度的理解

自由度

在 SLAM 算法里，我们会经常看到自由度这个概念，例如单应矩阵的自由度是8，基础矩阵的自由度是7，但是用旋转矩阵表达的旋转的自由度却是3。我一开始也很迷茫，什么是自由度啊？后面就慢慢理解了一点。

自由度，可以理解为独立信息的维度。下面是一个例子：

小明考了三门课程，语文、数学和英语，三门课程($n=3$)的平均分是60分($\bar{x}=60$)。我们需要求三门课程的分数分别是多少。

在这个问题下，自由度 F 是多少？

是 3 吗？不是，是 2。为什么？

由于存在条件 $\bar{x}$ 的限制，在我们猜三门分数的时候，只能猜两门课程的分数。为什么？

因为有条件 $\bar{x}=60$ 的约束，我们固定两门分数时，第三门一定是也固定下来的。因此自由度 $F=2$ 。

一般的情况下，自由度等于变量个数减1，$F=n-1$。

例如计算方差的公式：

$S^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}$

右式的分母是自由度，$F=n-1$

为什么是 $n-1$ 而不是 $n$?

因为分子存在平均值 $\bar{x}$，已经用掉了一个自由度。因此，剩下的有用信息是n-1维，而不是n维。

单应矩阵

单应矩阵的推导以后写吧，这里直接给出矩阵形式的求解公式：

[ 0 0 0 − u 1 − v 1 − 1 u 1 v 2 v 1 v 2 v 2 u 1 v 1 1 0 0 0 − u 1 u 2 − v 1 u 2 − u 2 ] [ h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 8 h 9 ] = 0 \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & -u_1 & -v_1 & -1 & u_1v_2 & v_1v_2 & v_2 \\ u_1 & v_1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -u_1u_2 & -v_1u_2 & -u_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}h_1 \\ h_2 \\ h_3 \\ h_4 \\ h_5 \\ h_6 \\ h_7 \\ h_8 \\h_9 \end{bmatrix} = 0 [0u1​​0v1​​01​−u1​0​−v1​0​−10​u1​v2​−u1​u2​​v1​v2​−v1​u2​​v2​−u2​​] ​h1​h2​h3​h4​h5​h6​h7​h8​h9​​ ​=0

单应矩阵 $H_{3x3}$ 一共有 9 个元素，那么它的自由度是多少呢？

公式左右两边同时乘以一个不为 0 的数，公式都恒成立。这叫尺度等价性，这里固定了一个自由度，因此单应矩阵的自由度 $F=9-1=8$

自由度是 8，因此需要提供 8 个值进行解算，然后一对匹配点可以通过 2 个值，因此只需要 4 对匹配点就可以解算单应矩阵。见单应矩阵应用，就是用了 4 对点进行计算。

基础矩阵

基础矩阵的矩阵形式求解公式如下：

[ u 1 u 2 v 1 u 2 u 2 u 1 v 2 v 1 v 2 v 2 u 1 v 1 1 ] [ f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 ] = 0 \begin{bmatrix} u_1u_2 & v_1u_2 & u_2 & u_1v_2 & v_1v_2 & v_2 & u_1 & v_1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \\ f_4 \\ f_5 \\ f_6 \\ f_7 \\ f_8 \\f_9 \end{bmatrix} = 0 [u1​u2​​v1​u2​​u2​​u1​v2​​v1​v2​​v2​​u1​​v1​​1​] ​f1​f2​f3​f4​f5​f6​f7​f8​f9​​ ​=0

基础矩阵 $F_{3x3}$ 一共有 9 个元素，但是它有两个约束：

1. 尺度等价性
2. 基础矩阵的秩为2

因此，基础矩阵的自由度为 $9-2=7$。

因此，最少7对匹配点就可以算出基础矩阵，但是在ORB_SLAM里用了 8 对点。计算方法可见：基础矩阵计算

其他碎碎念

旋转矩阵表示的旋转，自由度是 3 ，但是旋转矩阵有 9 个元素，因此旋转矩阵是冗余的。

但是如果只用 3 个元素表达旋转，例如旋转向量和欧拉角，存在奇异性，有些时候会丢失一个自由度。

因此表达 3 个自由度的旋转，最少需要 4 个元素，SLAM里用的就是大名鼎鼎的 四元数

本质矩阵$E_{3x3}$也有9个元素，但是它的自由度为5。为什么？

$E=t\times R$，其中平移有3个自由度，而旋转也有3个自由度，因此6个值便可以固定一个本质矩阵。

但是由于${\tilde{P}}_{c1}^{T}E{\tilde{P}}_{c2}=0$对极几何的约束，基础矩阵也存在尺度等价性，因此自由度等于3 + 3 - 1 = 5。

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b站视频：自由度的解释