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高数-第一章-函数-极限 连续

目录

  • 第一章 函数 极限 连续
    • 第一节 函数
    • 第二节 极限
      • 一、极限的概念与性质
        • （1）数列的极限
            • 例1
            • 例2
        • （2）函数的极限
        • （3）极限的性质（保号性重点 有界性）
            • 例12
            • 例13
            • 例14
        • （4）`函数极限与数列极限的关系（海因定理）`
            • 例15
      • 二、无穷小量与无穷大量
        • （1）无穷小的概念
        • （2）无穷小的性质
          • 无穷个无穷小的和不是无穷小-证明
          • `无穷个无穷小量的乘积不是无穷小-证明（没看懂）`
          • 无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小-证明
        • （3）无穷小的比较
          • 常用的等价替换（***）
            • 例23
          • 极限值与无穷小之间的关系（极限脱号）
            • 例25
        • （4）无穷大量
          • 无穷大量的概念
          • 无穷大量的性质
          • 常用的一些无穷大量的比较（抓大头）
          • 无穷大量与无界变量的关系
            • 例30
        • 无穷大量与无穷小量的关系
      • 三、极限的计算
        • （1）利用四则运算法则求极限
          • 常用的结论（***）
          • 未定式的分类以及做法（***）
            • **例33 （93 数三）注意负无穷**
        • （2）利用两个重要极限求极限
        • （3）利用等价无穷小替换求极限
            • 不可用洛必达（需要连续）
            • 例40.1
            • 例42（无穷个无穷小的和不一定为零）
            • 例43（拉氏定理的应用）
            • 例46（极限拆分，拆出的极限存在才可拆）
            • 例50
            • 例52（去极限号）
        • （4）利用洛必达法则求极限
            • 例53（凑等价无穷小）
            • 例55（数列函数极限转换，替换n和x的目的是让解题简单）
            • 例56（泰勒）
            • 例64（抓大头，>>注意趋于无穷）
            • 例65（包含抽象函数本身）
        • （5）利用夹逼准则求极限（后面几个方法一般用来求数列极限）
            • 例66
            • 例68（结论，需要记住）
            • 例69（上题的运用，需要数形结合，找出各个区间最大的）
            • 例70
            • 例71
        • （6）利用单调有界数列极限准则求极限
          • 证明有界性和单调性的方法
            • 例72（***）
            • 例73 （不等式放缩，不知道前几项的大小关系，故不能用函数求）
            • 例74 （很妙）
        • （7）利用无穷小的性质求极限
            • 例75
        • （8）利用函数的连续性求极限
        • （9）利用泰勒公式求极限
        • 常见的泰勒公式
            • 例78（展开到跟分母一样就行，超过也是等价无穷小）
            • 例79 （很妙，凑等价，与分母同阶）
            • 例80（法二需要注意函数连续性的）
        • （10）求极限的其他方法
    • 第三节 函数的连续性
      • （1）函数的连续性
            • 例1（补充定义，函数连续）
            • 例4（无穷小*有界量）
            • 例6 （补充定义，三角函数的代换的妙用）
      • （2）连续函数的运算和初等函数的连续性
        • 1. 连续函数的运算
        • 2. 初等函数的连续性
            • 例7（结论）
            • 例8（只有洛必达时才需要n化成x）
            • 例10（初等函数秒杀）
            • 例11
            • 例14（绝对值）
            • 例17
      • （3）间断点及其分类
        • 1. 间断点的定义
        • 2. 间断点的分类
            • 例20
            • 例21
            • 例22
            • 例23
            • 例25
        • 补充：天生的间断点
      • （4）闭区间上连续函数的性质（重要）
        • 零点定理
            • 例28（注意一定要说连续，这是基础）
            • 例31 （公式证明 函数连续就该想到：最值介值有界零点）
        • 介值定理的推广（用介值和最值推理）
            • 例34 （积分中值定理的一般形式的证明）

第一章 函数 极限 连续

第一节 函数

判断有界要用函数的绝对值，并且这里的不等式解法需要注意

在这里插入图片描述

需要注意这里的论证方式

在这里插入图片描述

第二节 极限

一、极限的概念与性质

（1）数列的极限

在这里插入图片描述

奇数子列要收敛于a，偶数子列也需要收敛于a（以2n为例子，若为3n，则余1、余2、余0的子列都要收敛于a）
拓展出去就是，所有的子列都收敛于a，才能说这个数列收敛于a

在这里插入图片描述

例1

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

例2

在这里插入图片描述

（2）函数的极限

  1. 自变量趋于无穷大时函数的极限
    在这里插入图片描述
  1. 自变量趋于有限值函数的极限

在这里插入图片描述

需要注意的有左极限以及右极限
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

需要分左右极限的状况
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

（3）极限的性质（保号性重点 有界性）


有界性
数列

数列若收敛则一定有界，反之不成立
有界是有上界或者有下界，上界下界可以相同，这种情况就是收敛

函数

函数极限存在即说明函数在去心邻域有界（局部有界）
反之不成立
局部有界不代表在那个点的函数极限存在

保号性
数列

如果数列趋于无穷时的极限值大于零或者小于零，则存在一个很大的n，使得 x n x_n xn​的值大于零或者小于零
如果一个数列存在一个很大的n，使得 x n x_n xn​的值大于等于零或者小于等于零，则数列极限也大于等于零或者小于等于零
最主要的原因是，取值可能取不到0，但是极限可以到0

函数

道理同数列
在这里插入图片描述
如果极限值大于则去心邻域也大于
如果函数大于或者大于等于，则极限值大于等于

例12

在这里插入图片描述

例13

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
大于什么系数大于零小于一；小于什么系数大于一

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

例14

局部有界连续判定

（4）函数极限与数列极限的关系（海因定理）

在这里插入图片描述

例15

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

二、无穷小量与无穷大量

（1）无穷小的概念

高数-第一章-函数-极限 连续_第1张图片

（2）无穷小的性质

高数-第一章-函数-极限 连续_第2张图片

无穷个无穷小的和不是无穷小-证明

高数-第一章-函数-极限 连续_第3张图片

无穷个无穷小量的乘积不是无穷小-证明（没看懂）

无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小-证明

高数-第一章-函数-极限 连续_第4张图片

（3）无穷小的比较

高数-第一章-函数-极限 连续_第5张图片

常用的等价替换（***）

【高等数学】等价无穷小代换
高数-第一章-函数-极限 连续_第6张图片

例23

高数-第一章-函数-极限 连续_第7张图片

极限值与无穷小之间的关系（极限脱号）

高数-第一章-函数-极限 连续_第8张图片

例25

在这里插入图片描述

高数-第一章-函数-极限 连续_第9张图片

（4）无穷大量

无穷大量的概念

在这里插入图片描述

无穷大量的性质

高数-第一章-函数-极限 连续_第10张图片

常用的一些无穷大量的比较（抓大头）

高数-第一章-函数-极限 连续_第11张图片

无穷大量与无界变量的关系

高数-第一章-函数-极限 连续_第12张图片

例30

经典无界不为无穷
高数-第一章-函数-极限 连续_第13张图片

无穷大量与无穷小量的关系

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三、极限的计算

（1）利用四则运算法则求极限

高数-第一章-函数-极限 连续_第15张图片
高数-第一章-函数-极限 连续_第16张图片

高数-第一章-函数-极限 连续_第17张图片

常用的结论（***）

高数-第一章-函数-极限 连续_第18张图片
重要结论：

在这里插入图片描述

未定式的分类以及做法（***）

0/0的未定式采用

  1. 洛必达
  2. 等价替换
  3. 泰勒
  4. 拉氏
  5. 导数定义

无穷加减无穷的

  1. 遇到分式，通分
  2. 遇到根式，有理化
  3. 实在不行，倒带化
  4. 倒带化本质，提最高次

无穷比无穷

  1. 洛必达
  2. 抓大头
  3. 提最高次
  4. 同除最高次

1的无穷次方

  1. 利用第二重要极限
  2. 幂指转换
例33 （93 数三）注意负无穷

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（2）利用两个重要极限求极限

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（3）利用等价无穷小替换求极限

乘法随便换，加减要注意（不能抵消）
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不可用洛必达（需要连续）

但是这题是数列，不连续
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使用海因定理就可以洛必达了

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例40.1

例42（无穷个无穷小的和不一定为零）

高数-第一章-函数-极限 连续_第25张图片
这个经典错误，是因为忽略了无穷个n的次方的和，直接抓大头，但是这边是无穷个，所以需要特别注意。

例43（拉氏定理的应用）

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例46（极限拆分，拆出的极限存在才可拆）

1. 只要拆的存在，剩下的不存在，也能拆
2. 整体存在，拆出的两个一定都存在
高数-第一章-函数-极限 连续_第27张图片
高数-第一章-函数-极限 连续_第28张图片
高数-第一章-函数-极限 连续_第29张图片

例50

高数-第一章-函数-极限 连续_第30张图片

例52（去极限号）

高数-第一章-函数-极限 连续_第31张图片

（4）利用洛必达法则求极限

高数-第一章-函数-极限 连续_第32张图片
高数-第一章-函数-极限 连续_第33张图片
注意用前化简

例53（凑等价无穷小）

高数-第一章-函数-极限 连续_第34张图片

例55（数列函数极限转换，替换n和x的目的是让解题简单）

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妙解
高数-第一章-函数-极限 连续_第36张图片

高数-第一章-函数-极限 连续_第37张图片

例56（泰勒）

高数-第一章-函数-极限 连续_第38张图片

例64（抓大头，>>注意趋于无穷）

高数-第一章-函数-极限 连续_第39张图片

高数-第一章-函数-极限 连续_第40张图片

例65（包含抽象函数本身）

法一
高数-第一章-函数-极限 连续_第41张图片
法二
这么凑的原因没有体现
下面说明一下
因为如果把右边的式子与左边的关联起来，就需要上下同乘x，并且分子加上，然后就能把零去掉，得到答案（类似法三，法二法三其实类似的）

高数-第一章-函数-极限 连续_第42张图片
法三
高数-第一章-函数-极限 连续_第43张图片
法四
这里需要注意脱极限号时需要考虑的去心邻域
思路：
让f（x）不再抽象，直接化为具体，再写出需要求出的式子，然后得出答案
属于无脑做法
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（5）利用夹逼准则求极限（后面几个方法一般用来求数列极限）

注意不存在为无穷也可以，主要是两边的极限值相等

高数-第一章-函数-极限 连续_第45张图片

例66

高数-第一章-函数-极限 连续_第46张图片
高数-第一章-函数-极限 连续_第47张图片

例68（结论，需要记住）

高数-第一章-函数-极限 连续_第48张图片

高数-第一章-函数-极限 连续_第49张图片

例69（上题的运用，需要数形结合，找出各个区间最大的）

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例70

高数-第一章-函数-极限 连续_第51张图片
法二
非未定式直接得出答案
高数-第一章-函数-极限 连续_第52张图片

例71

高数-第一章-函数-极限 连续_第53张图片
在这里插入图片描述

（6）利用单调有界数列极限准则求极限

高数-第一章-函数-极限 连续_第54张图片

证明有界性和单调性的方法

高数-第一章-函数-极限 连续_第55张图片
这边第三种证明单调性的方式，只有导数大于0能证明，递小于0不能证明单调性
并且需要知道x1和x2的大小关系

例72（***）

先有界后单调
高数-第一章-函数-极限 连续_第56张图片

高数-第一章-函数-极限 连续_第57张图片
这里知道前几项的大小关系，所以可以直接用函数的导数求单调，下边例题73就不行，因为不知道大小关系

例73 （不等式放缩，不知道前几项的大小关系，故不能用函数求）

在这里插入图片描述
高数-第一章-函数-极限 连续_第58张图片

例74 （很妙）

高数-第一章-函数-极限 连续_第59张图片

高数-第一章-函数-极限 连续_第60张图片

（7）利用无穷小的性质求极限

例75

高数-第一章-函数-极限 连续_第61张图片

（8）利用函数的连续性求极限

高数-第一章-函数-极限 连续_第62张图片
3是一个定式

（9）利用泰勒公式求极限

皮亚诺&拉格朗日
高数-第一章-函数-极限 连续_第63张图片

皮亚诺一般用来求极限，拉格朗日的泰勒公式一般用来证明

常见的泰勒公式

高数-第一章-函数-极限 连续_第64张图片

高数-第一章-函数-极限 连续_第65张图片
高数-第一章-函数-极限 连续_第66张图片

高数-第一章-函数-极限 连续_第67张图片

高数-第一章-函数-极限 连续_第68张图片

例78（展开到跟分母一样就行，超过也是等价无穷小）

高数-第一章-函数-极限 连续_第69张图片
在这里插入图片描述

例79 （很妙，凑等价，与分母同阶）

高数-第一章-函数-极限 连续_第70张图片

高数-第一章-函数-极限 连续_第71张图片

例80（法二需要注意函数连续性的）

二阶可导不能说明二阶导连续只能说明一阶导连续，原函数连续

高数-第一章-函数-极限 连续_第72张图片

高数-第一章-函数-极限 连续_第73张图片

（10）求极限的其他方法

高数-第一章-函数-极限 连续_第74张图片

第三节 函数的连续性

（1）函数的连续性

高数-第一章-函数-极限 连续_第75张图片
高数-第一章-函数-极限 连续_第76张图片

在这里插入图片描述

左端点右连续，右端点左连续，则（）变为【】

例1（补充定义，函数连续）

高数-第一章-函数-极限 连续_第77张图片
有理化 洛必达 等价

高数-第一章-函数-极限 连续_第78张图片

例4（无穷小*有界量）

高数-第一章-函数-极限 连续_第79张图片

趋于0的大于0次方等于无穷小，趋于0的小于等于0次方，不等于无穷小

例6 （补充定义，三角函数的代换的妙用）

开区间的补充
高数-第一章-函数-极限 连续_第80张图片

（2）连续函数的运算和初等函数的连续性

1. 连续函数的运算

有限次的四则运算或者复合运算之后还是连续
高数-第一章-函数-极限 连续_第81张图片
单调函数必为反函数，反函数不一定是单调函数

2. 初等函数的连续性

初等函数是基本初等函数经过有限次四则或者复合的函数

高数-第一章-函数-极限 连续_第82张图片

例7（结论）

高数-第一章-函数-极限 连续_第83张图片

例8（只有洛必达时才需要n化成x）

高数-第一章-函数-极限 连续_第84张图片

例10（初等函数秒杀）

高数-第一章-函数-极限 连续_第85张图片

例11

高数-第一章-函数-极限 连续_第86张图片

例14（绝对值）

高数-第一章-函数-极限 连续_第87张图片

高数-第一章-函数-极限 连续_第88张图片
中括号的部分可以考虑已经是连续，只需要考虑中括号没有包含的部分

例17

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（3）间断点及其分类

1. 间断点的定义

高数-第一章-函数-极限 连续_第90张图片

2. 间断点的分类

高数-第一章-函数-极限 连续_第91张图片

在这里插入图片描述

例20

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高数-第一章-函数-极限 连续_第93张图片

例21

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例22

高数-第一章-函数-极限 连续_第95张图片

例23

高数-第一章-函数-极限 连续_第96张图片

例25

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高数-第一章-函数-极限 连续_第98张图片
反例法（取恒等常数）

高数-第一章-函数-极限 连续_第99张图片

补充：天生的间断点

高数-第一章-函数-极限 连续_第100张图片

（4）闭区间上连续函数的性质（重要）

对于开区间以及闭区间，如果取值是闭区间则取值范围也是闭区间

零点定理

在这里插入图片描述

例28（注意一定要说连续，这是基础）

高数-第一章-函数-极限 连续_第101张图片
端点等号的情况得单独说

例31 （公式证明 函数连续就该想到：最值介值有界零点）

高数-第一章-函数-极限 连续_第102张图片

高数-第一章-函数-极限 连续_第103张图片

介值定理就是连续并且取值范围内，则存在点等于

例33类似
高数-第一章-函数-极限 连续_第104张图片

介值定理的推广（用介值和最值推理）

高数-第一章-函数-极限 连续_第105张图片
端点等号的情况得单独说

例34 （积分中值定理的一般形式的证明）

积分中值定理还有加强形式，由拉格朗日证明
此一般形式由介值和最值定理证明
高数-第一章-函数-极限 连续_第106张图片

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