数据结构与算法-AVL树

1. 基础数据结构

#define LH +1 /*  左高 */
#define EH 0  /*  等高 */
#define RH -1 /*  右高 */

/// 平衡二叉树
typedef struct BiTNode {
    int data; // 数据
    int bf; // 平衡因子
    struct BiTNode *lchild, *rchild; // 左右孩子指针
} BiTNode, *BiTree;

2. 左旋右旋

这里以右旋为例，P断开了左指针，L断开右指针；L空出来的右指针指向P，P空出来的左指针指向：

右旋

/// 左旋
void R_Rotate(BiTree *p) {
    BiTree L = (*p)->lchild; // L是p的左子树
    (*p)->lchild = L->rchild; // L的右子树作为p的左子树
    L->rchild = *p; // 将p作为L的右子树
    *p = L; // 将L替换原有p的根结点位置
}

/// 右旋
void L_Rotate(BiTree *p) {
    BiTree R = (*p)->rchild; // R是p的右子树
    (*p)->rchild = R->lchild; // R的左子树作为R的右子树
    R->lchild = *p; // 将p作为R的左子树
    *p = R; // 将R替换原有p的根结点位置
}

3. 左失衡右失衡

/// 左失衡
void LeftBalance(BiTree *T) {
    BiTree Tl = (*T)->lchild;
    BiTree Lr;
    switch (Tl->bf) {
        case LH: // 新结点插入在T的左孩子的左子树上
            (*T)->bf = Tl->bf = EH; // 调整后平衡
            R_Rotate(T); // 进行右旋
            break;
        case RH: // 新结点插入在T的左孩子的右子树上
            Lr = Tl->rchild; // Lr指向T的左孩子的右子树
            // 修改T及其左孩子的平衡因子
            switch (Lr->bf) {
                case LH:
                    Tl->bf = RH;
                    (*T)->bf = EH;
                    break;
                 case EH:
                    Tl->bf = (*T)->bf = EH;
                    break;
                case RH:
                    Tl->bf = EH;
                    (*T)->bf = LH;
                    break;
            }
            Lr->bf = EH;
            L_Rotate(&(*T)->lchild); // 对T的左子树作左旋平衡处理
            R_Rotate(T); // 对T作右旋平衡处理
            break;
    }
}

/// 右失衡
void RightBalance(BiTree *T) {
    BiTree Tr = (*T)->rchild;
    BiTree Rl;
    switch (Tr->bf) {
        case RH: // 新结点插入在T的右孩子的右子树上
            (*T)->bf = Tr->bf = EH; // 调整后平衡
            L_Rotate(T); // 进行左旋
            break;
        case LH: // 新结点插入在T的右孩子的左子树上
            Rl = Tr->lchild; // Ll指向T的右孩子的左子树
            // 修改T及其左孩子的平衡因子
            switch (Rl->bf) {
                case LH:
                    Tr->bf = EH;
                    (*T)->bf = RH;
                    break;
                 case EH:
                    Tr->bf = (*T)->bf = EH;
                    break;
                case RH:
                    Tr->bf = LH;
                    (*T)->bf = EH;
                    break;
            }
            Rl->bf = EH;
            R_Rotate(&(*T)->rchild); // 对T的右子树作右旋平衡处理
            L_Rotate(T); // 对T作左旋平衡处理
            break;
    }
}

4. 插入结点

/// 插入结点
/// @param T AVL树
/// @param data 被插入数据
/// @param taller 是否"长高"
Status InsertAVL(BiTree *T, int data, Status *taller) {
    if (!*T) { // 空结点
        *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        (*T)->data = data;
        (*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL; // 新结点没有左右子树
        (*T)->bf = EH;
        *taller = TRUE; // 新结点默认"长高"
    } else {
        if (data == (*T)->data) { // 已存在和data有相同关键字的结点则不再插入
            *taller = FALSE;
            return FALSE;
        }
        if (data < (*T)->data) { // 小则在左子树插入
            if (!InsertAVL(&(*T)->lchild, data, taller)) // 插入失败
                return FALSE;
            // 插入成功
            if (*taller) {
                switch ((*T)->bf) {
                    case LH:
                        // 原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理
                        LeftBalance(T);
                        *taller = FALSE;
                        break;
                    case EH:
                        // 原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高
                        (*T)->bf = LH;
                        *taller = TRUE;
                        break;
                    case RH:
                        // 原本右子树比左子树高，现左右子树等高
                        (*T)->bf = EH;
                        *taller = FALSE;
                        break;
                }
            }
        } else { // 大则在右子树插入
            if (!InsertAVL(&(*T)->rchild, data, taller)) // 插入失败
                return FALSE;
            // 插入成功
            if (*taller) {
                switch ((*T)->bf) {
                    case LH:
                        // 原本左子树比右子树高，现左右子树等高
                        (*T)->bf = EH;
                        *taller = FALSE;
                        break;
                    case EH:
                        // 原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高
                        (*T)->bf = RH;
                        *taller = TRUE;
                        break;
                    case RH:
                        // 原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理
                        RightBalance(T);
                        *taller = FALSE;
                        break;
                }
            }
        }
    }
    return TRUE;
}

5. 查询

查询和二叉搜索树相同。

/// 递归查找二叉排序树T中，是否存在key
/// @param T AVL树
/// @param key 被查询值
/// @param f 指针f指向T的双亲，初始值为NULL
/// @param p 最后一个被访问结点的指针引用
///
/// 若指针p指向查找路径上访问的最后一个结点则返回FALSE
Status SearchBST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p) {
    if (!T) { // 空结点
        *p = f; // 查询失败，指回双亲结点
        return FALSE;
    } else if (key == T->data) { // 根节点查询成功
        *p = T;
        return TRUE;
    } else if (key < T->data) { // 查询值跟小，则在左子树中找
        return SearchBST(T->lchild, key, T, p);
    } else { // 查询值更大，则在右子树中找
        return SearchBST(T->rchild, key, T, p);
    }
    return TRUE;
}