DAY39：贪心算法（七）根据身高重建队列（注意思路）+最少箭引爆气球（重叠区间）

406.根据身高重建队列（注意思路）

• 如果某元素前面有k个满足条件的元素，那么这个元素的下标就是k，而不是k-1。本题排序结束之后，如果想要>=hi的元素个数=ki，那么需要插入的位置下标就是ki！

• 本题的两个维度，和 135.分发糖果 类似，当遇到两个维度的问题的时候，一定不要两个维度同时考虑，需要先考虑一个再考虑另一个！

假设有打乱顺序的一群人站成一个队列，数组 people 表示队列中一些人的属性（不一定按顺序）。每个 people[i] = [hi, ki] 表示第 i 个人的身高为 hi ，前面 正好 有 ki 个身高大于或等于 hi 的人。

请你重新构造并返回输入数组 people 所表示的队列。返回的队列应该格式化为数组 queue ，其中 queue[j] = [hj, kj] 是队列中第 j 个人的属性（queue[0] 是排在队列前面的人）。

示例 1：

输入：people = [[7,0],[4,4],[7,1],[5,0],[6,1],[5,2]]
输出：[[5,0],[7,0],[5,2],[6,1],[4,4],[7,1]]
解释：
编号为 0 的人身高为 5 ，没有身高更高或者相同的人排在他前面。
编号为 1 的人身高为 7 ，没有身高更高或者相同的人排在他前面。
编号为 2 的人身高为 5 ，有 2 个身高更高或者相同的人排在他前面，即编号为 0 和 1 的人。
编号为 3 的人身高为 6 ，有 1 个身高更高或者相同的人排在他前面，即编号为 1 的人。
编号为 4 的人身高为 4 ，有 4 个身高更高或者相同的人排在他前面，即编号为 0、1、2、3 的人。
编号为 5 的人身高为 7 ，有 1 个身高更高或者相同的人排在他前面，即编号为 1 的人。
因此 [[5,0],[7,0],[5,2],[6,1],[4,4],[7,1]] 是重新构造后的队列。

示例 2：

输入：people = [[6,0],[5,0],[4,0],[3,2],[2,2],[1,4]]
输出：[[4,0],[5,0],[2,2],[3,2],[1,4],[6,0]]

提示：

• 1 <= people.length <= 2000
• 0 <= hi <= 10^6
• 0 <= ki < people.length

题目数据确保队列可以被重建。

思路

本题首先要理解题意，是针对每个人属性第二栏的有多少个人比此人高，来对队列重新排列，使得队列前面h>=此人身高hi的人数=ki，如下图所示：

两个维度

本题有h和k两个维度，看到这种题目一定要想如何确定一个维度，然后再按照另一个维度重新排列。

本题的两个维度体现在同时有两个需要考虑的限制条件。朴素的想法应该是直接降序排序，然后降序排序的同时满足hi≥当前hi的数字个数=ki，但是不能同时满足。

所以，我们需要先把hi降序排序，ki放在降序之后考虑。因为如果按照k来从小到大排序，排完之后，会发现k的排列并不符合条件，身高也不符合条件，两个维度哪一个都没确定下来。而当身高h定死的时候，k也就定死了（也就是降序排列之后，对于每个人，前面有多少个比他高的人就定死了），此时再去调整K，就会方便很多。

移动策略如下图所示：

hi先降序排完，再根据ki的情况去insert。降序排序结束之后，再从头开始遍历，对于每个组合{h,k}，判断该数字前面>=h的数字个数，并且把该向量放到个数=k的下标位置。

例如{6，1}这个例子，从头遍历需要找到1个大于6的数字，找到的数字是第一个数字nums[0]=7>6，所以放在nums[1]的位置。遍历第一遍的策略情况如图粉色线条所示。

降序排序注意点

注意，在降序排序的过程中，同样hi的组合，应该是ki较小的放在前面。也就是说{5,0}{5,2}这个组合，应该是{5,0}放在前面。我们假设{5,2}放在前面，那么先遍历{5,2}，再遍历{5,0}，遍历到{5,0}的时候把{5,0}又放在了{5,2}的前面，这个时候{5,2}前面就又多了一个5！就会导致结果错误（因为大于/等于都算）。

完整版

• 降序排序需要满足两条，一条是降序，一条是相同的时候k从小到大排！注意cmp的写法，是比较了一维数组的两个元素！
• 降序排列结束之后，如果想要>=hi的元素个数=ki，那么需要插入的位置下标就是ki！

class Solution {
public:
    //注意cmp接收的是两个一维数组，而不是二维数组
    static bool cmp(vector<int>& P1,vector<int>& P2){
        if(P1[0]>P2[0])  return true;//整体降序
        if(P1[0]==P2[0]){
            if(P1[1]<P2[1]) 
                return true;//p1[0]相同的时候按照p1[1]升序
        }
        return false;
    }
    vector<vector<int>> reconstructQueue(vector<vector<int>>& people) {
        //先对所有的hi降序排序，因为本题的people中的变量是{a,b}，所以需要自定义sort cmp
        sort(people.begin(),people.end(),cmp);
        //定义新的二维数组作为输出
        vector<vector<int>>result;
        //开始遍历排序后的people
        for(int i=0;i<people.size();i++){
            //因为此时已经排序完毕，所以[6,1]直接插入到下标为1的地方，[5,0]直接插入下标为0的地方
            int position=people[i][1];//people[i][1]就代表着第i个集合people的第二个元素！
            //元素放到对应的二维结果数组里
            result.insert(result.begin()+position,people[i]);
        }
        return result;

    }
};

vector容器插入相关复习

(1条消息) vector容器语法相关_大磕学家ZYX的博客-CSDN博客

为什么能直接根据ki数值插入ki位置的下标

这也是本题的一个思维问题，当我们降序排序结束之后，降序排序就是为了把大于这个元素的因素，全都放在这个元素的前面。因此，以[7,1]为例，当遍历到[7,1]的时候，[7,1]前面的元素一定是>=[7,1]的！

因此此时如果想要前面只有ki个>=[7,1]的元素，直接把[7,1]移动到ki的位置就行了！

（前面有k个满足条件的元素，下标又是从0开始，因此当前下标就是k而不是k-1）

时间复杂度

在C++中，std::vector::insert的时间复杂度是O(n)，其中n是从插入点到vector末尾的元素数量。这是因为插入新元素时，所有在插入点后的元素都需要移动以创建空间。因此，对于在vector的开头插入元素，需要移动所有的元素，这是最糟糕的情况，对应于O(n)的时间复杂度。对于在vector的末尾插入元素，不需要移动任何元素，这是最好的情况，对应于O(1)的时间复杂度。

代码中的循环体内使用了std::vector::insert，因此，循环的每一次迭代都可能需要移动元素。在最糟糕的情况下，这个代码的时间复杂度是O(n^2)，其中n是people中的元素数量。

此外，还需要考虑到代码中的排序操作。std::sort函数的时间复杂度通常为O(n log n)，其中n是要排序的元素数量。

• 时间复杂度：O(nlog n + n^2)
• 空间复杂度：O(n)

vector-insert操作存在的问题

使用vector是非常费时的，C++中vector（可以理解是一个动态数组，底层是普通数组实现的）如果插入元素大于预先普通数组大小，vector底部会有一个扩容的操作，即申请两倍于原先普通数组的大小，然后把数据拷贝到另一个更大的数组上。

所以使用vector（动态数组）来insert，是费时的，插入再拷贝的话，单纯一个插入的操作就是O(n^{2)了**，甚至**可能拷贝好几次，就不止O(n}2)了。

因此我们这道题，在结果数组的数据结构选择上，可以选择把vector换成List。list底层是链表实现，链表不存在双倍扩容的问题。

链表优化版

• list不支持随机访问迭代器，因此result.begin()+position这种操作是不被允许的。

class Solution {
public:
    static bool cmp(vector<int>& P1,vector<int>& P2){
        if(P1[0]>P2[0])  return true;
        if(P1[0]==P2[0]){
            if(P1[1]<P2[1]) 
                return true;
        }
        return false;
    }
    vector<vector<int>> reconstructQueue(vector<vector<int>>& people) {
        sort(people.begin(),people.end(),cmp);
        //结果数组类型修改为list>
        list<vector<int>>result;
        
        //遍历排序后的people
        for(int i=0;i<people.size();i++){
            int position=people[i][1];
            //找到position位置之后，定义迭代器再插入
            list<vector<int>>::iterator it = result.begin();
            //注意这里insert的写法,先寻找插入位置
            while(position--){
                it++;
            }
            //while结束之后找到插入位置
            result.insert(it,people[i]);
        }
        //把结果转换为vector>，相当于构造新的二维vector
        return vector<vector<int>>(result.begin(),result.end());

    }
};

时间复杂度

区别讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

链表的做法，时间复杂度也是O(nlog n + n^2)

首先，std::list的插入操作的时间复杂度是O(1)，但这只是指插入操作本身，即在已知要插入的位置的情况下的插入。然而，你需要找到要插入的位置，而在std::list中找到一个位置的时间复杂度是O(n)。

在代码中有一个while循环，用于找到每个元素应插入的位置。这个查找操作的时间复杂度是O(n)。因此，每次插入的总时间复杂度（查找+插入）是O(n)。由于你在循环中对每个元素都进行了这样的操作，因此，总的时间复杂度仍然是O(n^2)。

因此，链表做法的时间复杂度还是O(n log n + n^2)。其中，O(n log n)对应于排序操作，O(n^2)对应于插入操作。

而std::vector的情况类似。std::vector的插入操作的时间复杂度是O(n)，但这已经包含了查找位置和插入两个步骤（对于std::vector，查找位置的时间复杂度是O(1)，但插入的时间复杂度是O(n)）。所以，std::vector的做法的时间复杂度也是O(n log n + n^2)。

vector的主要问题在Insert上，我们使用vector来做insert的操作，insert每一次插入都会动态扩容，虽然表面上复杂度是O(n^{2)，但是其底层都不知道额外做了多少次全量拷贝了，所以算上vector的底层拷贝，整体时间复杂度可以认为是O(n}2 + t × n)级别的，t是底层拷贝的次数。

list和vector的插入与访问操作区别

博客整理：list和vector对比

std::list和std::vector是C++中的两种常见数据结构，它们在不同的使用场景下各有优势。

• std::vector的内部实现是动态数组，它在连续的内存块中存储数据。这使得std::vector在访问元素时具有非常高的效率，因为可以直接通过索引来访问元素，时间复杂度为O(1)。然而，std::vector在插入和删除元素时可能需要移动大量的元素，特别是在非尾部进行插入或删除操作时，时间复杂度为O(n)。
• std::list的内部实现是双向链表，它在非连续的内存块中存储数据。这使得std::list在插入和删除元素时具有非常高的效率，因为你只需要修改相关节点的指针，无需移动其他元素，时间复杂度为O(1)。然而，std::list在访问元素时可能需要遍历整个链表，时间复杂度为O(n)。

如果主要的操作是插入元素insert操作，那么使用std::list会比使用std::vector更高效。

虽然插入操作的理论时间复杂度没有改变，但在实践中，由于std::list不需要移动元素，所以实际运行时间会更短。这就是为什么使用std::list后代码运行时间减少的原因。

452.最少弓箭引爆气球（重叠区间）

• 重叠区间题目需要注意元素初值的问题，包括计数变量的初值，以及有时候需要考虑数组i=0时候的初值（因为重叠判断大都是i=1开始的）

有一些球形气球贴在一堵用 XY 平面表示的墙面上。墙面上的气球记录在整数数组 points ，其中points[i] = [xstart, xend] 表示水平直径在 xstart 和 xend之间的气球。你不知道气球的确切 y 坐标。

一支弓箭可以沿着 x 轴从不同点 完全垂直 地射出。在坐标 x 处射出一支箭，若有一个气球的直径的开始和结束坐标为 xstart，xend， 且满足 xstart ≤ x ≤ xend，则该气球会被 引爆 。可以射出的弓箭的数量 没有限制 。 弓箭一旦被射出之后，可以无限地前进。

给你一个数组 points ，返回引爆所有气球所必须射出的 最小 弓箭数 。

示例 1：

输入：points = [[10,16],[2,8],[1,6],[7,12]]
输出：2
解释：气球可以用2支箭来爆破:
-在x = 6处射出箭，击破气球[2,8]和[1,6]。
-在x = 11处发射箭，击破气球[10,16]和[7,12]。

示例 2：

输入：points = [[1,2],[3,4],[5,6],[7,8]]
输出：4
解释：每个气球需要射出一支箭，总共需要4支箭。

示例 3：

输入：points = [[1,2],[2,3],[3,4],[4,5]]
输出：2
解释：气球可以用2支箭来爆破:

-在x = 2处发射箭，击破气球[1,2]和[2,3]。

-在x = 4处射出箭，击破气球[3,4]和[4,5]。

提示:

• 1 <= points.length <= 10^5
• points[i].length == 2
• -2^31 <= xstart < xend <= 2^31 - 1

思路

本题是一道经典的重叠区间类型题目，重点就是用一只弓箭尽量射重叠最多的气球。题意示意图如下。

本题关键在于代码的模拟。首先是记录重叠的气球，再引爆气球。

首先，想要得到重叠情况的统计，需要先对气球左边界进行排序。按照左边界对气球排序之后，才能得到大概类似上图，气球相邻的情况，方便处理气球。

情况分析

• 气球不重叠：第i个气球左边界>第i-1个气球的右边界，说明这两个气球一定不重合，此时一定要添加一个弓箭

//注意数组points第一个量是第几个气球，第二个量是左边界or右边界
//示例：points = [[10,16],[2,8],[1,6],[7,12]]
if(i>0&&points[i][0]>points[i-1][1]){
    //不重叠一定要添加弓箭
    arrow++;
}

• 气球重叠：判断右边界就可以判断相邻气球是不是重叠了，i左边界<=i-1右边界
• 但是气球重叠的情况存在一个问题，如果气球一直重叠，我们需要判断共有几个重叠的气球可以用一根箭。此时我们使用的方法是更新最小右边界，示意图如下所示。
• 更新的右边界是最新气球的右边界，是取最新气球右边界和上一个重叠气球右边界的最小值，注意是取最大值，因为points[i-1][1]可能大于points[i][1]！

if(points[i][0]<=points[i-1][1]){
    //此时，第i个气球和第i-1重合了，还需要判断是不是和下一个也重合
    //方法：更新最小右边界，也就是把第i个气球的右边界，取为第i-1个气球的右边界和第i个的右边界的最大值
    points[i][1]=min(points[i-1][1],points[i][1]);  
}

完整版

• arrow初值设置为1，是因为这样遍历下去，到了最后一个就会缺失弓箭增加的逻辑，此时直接初值设置为1即可！
• 也可以考虑，当气球不为0的时候，至少需要一只箭，所以初值是1

class Solution {
public:
    static bool cmp(vector<int>&a,vector<int>&b){
        if(a[0]<b[0]) 
            return true;
        return false;
    }
    int findMinArrowShots(vector<vector<int>>& points) {
        int arrow=1;
        if(points.size()==0) return 0;
        //先对气球左边界进行升序排序
        sort(points.begin(),points.end(),cmp);
        //排序完了进行遍历，先是不重叠
        for(int i=1;i<points.size();i++){
            if(points[i][0]>points[i-1][1]){
                arrow++;
            }
            //其他情况就都是重叠
            else{
                //重叠，更新最小右边界
                points[i][1]=min(points[i-1][1],points[i][1]);
            }
        }
	 return arrow;
    }
};

时间复杂度

• 时间复杂度：O(nlog n)，因为有一个快排（加法+n省略）
• 空间复杂度：O(1)，有一个快排，最差情况(倒序)时，需要n次递归调用。因此确实需要O(n)的栈空间

弓箭初值设置的原因

依然以上面的图为例，我们按照更新最小右边界的逻辑，遇到重叠的就继续遍历，遇到不重叠才++，这种逻辑在遇到最后一个元素的时候，就缺失了弓箭++的操作。

但是，在只有最后一个元素是这样，其他元素不受影响的情况下，我们可以直接通过调整初值来实现逻辑，也就是直接把初值设置为1即可！这样就不需要在代码里单独加上处理最后一个数字的逻辑了。

总结

这道题目贪心的思路很简单也很直接，就是重复的一起射了，但是真正模拟引爆气球是有难度的。

我们需要注意的一点是，气球并不需要真的引爆，只需要累积弓箭数目+1就行了。

另外，气球的左右数值也不是不能改变的，我们可以通过更新最小右边界的形式，相当于"修改"这个气球，使得当前气球继续判断和下一个气球是否重合的逻辑。