20230717牛客多校赛（一）L

L - Three Permutations

题面
题意： 给定三个长度为$n$的排列$a,b,c$，$(x,y,z)$ ， 最开始为 $(1,1,1)$，每过一秒变为 $(a_y,b_Z,c_x)$。$q$次询问求变成$(x^{,},y^{,},z^{,})$​的最短时间。

考试时看这样的连接关系以为会是一道图论，并且过的人非常少，就没有仔细想这道题，但其实这题是一道可做的数学题。

Solution：

性质：每过三秒$(x,y,z)$会变为$(a_{b_{c_x}},b_{c_{a_y}},c_{b_{a_z}})$，用复合关系表示为$(a\circ b\circ c(x),b\circ c\circ a(y),c\circ b\circ a(z))$ 。

分别设这三个复合关系为$fa=a\circ b\circ c,fb=b\circ c\circ a,fc=c\circ b\circ a$ 。即每三秒$(x,y,z)$会变为$(fa(x),fb(y),fc(z))$ 。

我们考虑到在朴素情况下，数对$(1,1,1)$不会同时第一次通过变换到达$(x,y,z)$，即三个位置上的数一次或多次分别到达了$x,y,z$。

因此我们可以线性计算出三个位置的数，通过$fa,fb,fc$变换，第一次分别变换到$x,y,z$的时间${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$，三个位置从$1$变换回$1$的时间为$m_1,m_2,m_3$。

则三个位置同时到达$(x,y,z)$的时间$T$满足$T\equiv {\alpha }_i(\mathrm{mod}{m}_i)$ 。

这是一个由三个同余方程构成的一元线性同余方程组，由于不保证模数为质数，我们用$excrt$进行求解即可。

上面求解了从第$0$秒开始进行的$fa,fb,fc$变换，由于一次$f$变换需要三秒，因此我们枚举起始时间为$0,1,2$的情况，进行三次求解，即可求得所有解。

细节处理：

对于求解${\alpha }_i$ ，标程中给了一个较好的处理，预处理出三个$dis$数组，$disa/b/c_i$代表从$1$到$i$需要通过几次$fa/b/c$变换得到，值为$-1$即为不可到达。

因此求解${\alpha }_i$时只需要将$disa/b/c_{x/y/z}$赋值给${\alpha }_{1/2/3}$即可。

对于无解情况有两种，第一种情况是通过$fa/b/c$操作根本无法从$1$变换到题目中给定的$x/y/z$，即$disa/b/c_{x/y/z}=-1$，此时无解。

第二种情况是$excrt$的无解条件，即合并方程$x\equiv a_i(\mathrm{mod}{m}_i)$与$x\equiv A(\mathrm{mod}M)$时，$A$与$a_i$不满足$exgcd$的有解条件，即$gcd(m_i,M)\nmid A-a_i$。

代码↓

#include
#define N 100100
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll inf=1e18;
inline void read(ll &x){
    ll s=0,w=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){s=(s<<3)+(s<<1)+(ch&15);ch=getchar();}
    x=s*w;
}
ll n,q,x,y,z,flag;
ll a[N],b[N],c[N];
ll fa[N],fb[N],fc[N],disa[N],disb[N],disc[N];
ll ia[N],ib[N],ic[N];
ll mod[3],arr[3];
ll gcd(ll a, ll b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
void exgcd(ll &x, ll &y, ll a, ll b){
    if(!b){x=1,y=0;return ;}
    exgcd(y,x,b,a%b);
    y-=a/b*x;
}
ll excrt(){
    ll A=arr[0],M=mod[0];
    for(ll i=1;i<=2;i++){
        ll p,q,a,b,c,g;
        a=M,b=mod[i],c=(arr[i]-A%b+b)%b,g=gcd(a,b);
        if(c%g)return inf;
        a/=g,b/=g,c/=g;
        exgcd(p,q,a,b);
        p=(p*c)%b;
        A+=M*p;M*=b;
        A=(A%M+M)%M;
    }
    return A;
}
ll solve(ll x, ll y , ll z){
    if(disa[x]==-1||disb[y]==-1||disc[z]==-1)return inf;
    arr[0]=disa[x],arr[1]=disb[y],arr[2]=disc[z];
    return excrt();
}
int main(){
    read(n);
    for(ll i=1;i<=n;i++)read(a[i]),ia[a[i]]=i;
    for(ll i=1;i<=n;i++)read(b[i]),ib[b[i]]=i;
    for(ll i=1;i<=n;i++)read(c[i]),ic[c[i]]=i;

    for(ll i=1;i<=n;i++){
        fa[i]=a[b[c[i]]];
        fb[i]=b[c[a[i]]];
        fc[i]=c[a[b[i]]];
    }

    memset(disa,-1,sizeof disa);
    memset(disb,-1,sizeof disb);
    memset(disc,-1,sizeof disc);
    for(ll i=1;disa[i]==-1;i=fa[i],mod[0]++)disa[i]=mod[0];
    for(ll i=1;disb[i]==-1;i=fb[i],mod[1]++)disb[i]=mod[1];
    for(ll i=1;disc[i]==-1;i=fc[i],mod[2]++)disc[i]=mod[2];

    read(q);
    for(ll i=1;i<=q;i++){
        read(x),read(y),read(z);
        ll ans=inf;
        for(ll j=0;j<=2;j++){
            ans=min(ans,solve(x,y,z)*3+j);
            ll t=y,p=x;
            x=ic[z],y=ia[p],z=ib[t];
        }
        if(ans==inf)puts("-1");
        else printf("%lld\n",ans);
    }
}