连续圆环阵均匀加权波束图—麦克风阵列系列（九）

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内容包括如下：

1、连续圆环阵波束形成器推导；

2、观测连续圆环阵波束响应、波数半径积  与垂直角 对波束的影响；

3、一类贝塞尔函数特征。

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1、连续圆环阵波束形成器推导

针对连续圆环阵，考虑一个半径为  的连续圆环阵，将其置于  平面，圆环中心为坐标原点，如图1所示。

图 1

连续圆环阵上各接收点 的阵列流形函数可以表示为：

点极坐标形式为  ，直角坐标形式为  ，

假设 点的加权函数取  ，则波束响应为：

形式为一类0阶贝塞尔函数，第三小节“一类贝塞尔函数特征”详叙该函数，研究其特征。

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2、观测连续圆环阵波束响应、波数半径积  与垂直角 对波束的影响

考虑一个连续圆环阵，计算采用均匀加权时得到的波束响应。

假设波数半径积为  ，令  ，利用上述的波束响应计算公式，其幅度采用三维坐标显示于图2中。

图 2 三维波束响应

由图2可见，均匀加权获得的波束响应相对于  轴旋转对称，即波束响应只与垂直角  有关，与水平角  无关。因此，下面我们只需画出均匀加权波束图相对于垂直角的关系即可。

假设波数半径积范围  ，垂直角取值范围  ,利用波束响应计算公式计算得到的波束响应相对于波数半径积  与垂直角  的值显示于图3中，其中图3波束响应幅度取对数后的彩色显示，图4为波束响应幅度柱面坐标显示。

图3

图4

为了更好地观测到波束响应，图6中补全了与圆环阵垂直的平面（  轴所在平面）上整个  范围内的波束响应。图6四幅图中显示了  时对应的波束响应极坐标显示图。

图 6.1

图 6.2

图 6.3

图 6.4

从图3、4、5 与6 可见，均匀加权圆环阵在垂直于圆环的方向获得了主瓣，即波束主瓣方向指向  与  方向。  时，波束响应为单位圆，即没有方向性，随着频率的升高，波束主瓣逐渐变窄。

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3、一类贝塞尔函数特征

一类  阶贝塞尔函数定义为：

图7显示了  阶贝塞尔函数图。从图中可以看出，随着阶数  的增大，贝塞尔函数最大幅度值  逐渐减小。

图 7

在上述已经推导过，均匀加权连续圆环阵的波束响应时0阶贝塞尔函数，这与连续线阵的波束响应是  函数相对应，在之前的文章中已经讲过，放置于  轴上的长度为的连续线阵在平面上的波束响应为：

这表明当线阵长度  与圆环阵直径  相等时，两连续阵的波束响应的宗量相等，前者为  函数，后者为0阶贝塞尔函数。

图8显示了  与  两函数相对于宗量  的值的对比图。从图中可看出，  时两函数都为1，这表明波束主瓣响应为1，即  。除了  点之外0阶贝塞尔函数的峰值与谷值幅度都大于  函数峰值与谷值幅度，这表明连续圆环阵波束旁瓣高于连续线阵。但是连续圆环阵主瓣宽度窄于连续线阵。

图 8

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参考书籍：

《优化阵列信号处理》，鄢社锋

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