汉诺塔问题(递归算法)

汉诺塔(Tower of Hanoi传说越南河内某间寺院有三根银棒,上串 64 个金盘。寺院里的僧侣依照一个古老的预言,以上述规则移动这些盘子;预言说当这些盘子移动完毕,世界就会灭亡。这个传说叫做梵天寺之塔问题若传说属实,僧侣们需要步才能完成这个任务;若他们每秒可完成一个盘子的移动,就需要 5845 亿年才能完成。整个宇宙现在也不过 137 亿年。

                                        

ps:写这篇文章之前,我花了大约八分钟的时间来温习这道题,并在思考一个问题,汉诺塔问题究竟是分而治之还是减而治之。

递归求解:

首先明确一下递归的概念:把问题转化为规模缩小的同类问题的子问题。然后调用重复性过程来表示问题的解。

这种算法可以分为两种方式,分而治之 和 减而治之。

分而治之:将原问题划分为多个(通常情况下为两个)子问题,子问题的规模彼此近似相同。由子问题的解,得到原问题的解。

减而治之:原问题划分为两个子问题,其一是平凡问题(时间复杂度为O(1)),另一规模缩减。由子问题的解,倒推原问题的解。两种策略在不同的环境下各有优劣。

问题:之前的我爱把递归理解为下楼梯在上楼梯的过程,现在而言所谓的递归缩小问题规模,实际上就是不断去寻找递归基的过程,通过递推,找到可行解,在回溯到当前问题并求解。这个问题实际上和中学的数学题差不太多。

若存在函数F(x) = F(x-1) + 1,已知F(0)=1,求解F(5);

从题目中可以看到,若求F(5),必须求解F(4),依次递推,最终可得F(5) =F(4) + 1=F(3)+2(1+1)=...F(0)+5=6.

这只是临时想到的一个小问题,不过递归的思想却已经体现的淋漓尽致,当前解无法求出,只得借助底层已知解来辅助高层未知解的计算。

汉诺塔问题的递归表示:假设已经熟悉题设,共计64个盘子,三个银柱A,B,C,我们不妨这样想,将64层盘子分成两部分,把上面的63层是为一个整体,把下面的最后一层视为一个独立整体,此时盘子就仅仅就只剩下“两个”啦,一个大问题F(64)<==>拆分成F(63)一个规模减小问题和仅剩最后一个盘子的F(64号盘)复杂度为O(1)一个平凡问题,我们将F(63)的盘子从A柱移动到C柱,再从C柱移动到B柱再将64号盘从A柱直接移动到C柱。最后再把F(63)从B柱移动到A柱再移动到C柱。

这个举动可能会有人不理解,相信我,当你画三个盘子去进行实验的时候会有所发现的。

#include
using namespace std;

class Hannoi {

private:int n = 0;

public: void hannoi(int n,char x, char y,char z);
	void move(int  n, char x, char y);
};
void Hannoi:: hannoi(int n,char x, char y,char z) {
	if (n == 1)
		move(1,x,y);
	else {
		hannoi(n - 1, x, z, y);
		move(n, x, z);
		hannoi(n - 1, y, x, z);
	}
}
void Hannoi::move(int  n, char x, char y) {
	cout << " " << n << "号从 "<hannoi(8,'A','B','C');

	system("pause");
	return 0;
}

 

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