扩展欧几里得求逆元

引入

逆元定义

若$a$和$n$互素，
$$a\ast x\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$
上面这个式子中的$x$就被称为$a$关于$n$的逆元。

贝祖等式

设$a,b$是任意两个正整数，则存在整数$x,y$使得
$$a\ast x+b\ast y=(a,b)$$
其中，$(a,b)$表示$a$和$b$的最大公因数。

求逆元

手工求逆元的方法不多赘述，就是辗转相除法一直除下去，然后再回代回去。

下面重点解释代码中递归返回时的那两行赋值语句：
我们知道，在相邻两次递归中，除数和余数作为新的$a$和$b$递归下去。递归后的等式即为
$$b\ast x1+(a\%b)\ast y1=gcd$$
这很好理解，但是递归返回的时候怎么办呢？
我们知道：$a\%b=a-(a/b)\ast b$，这里的除法是c++中的除法，只保留整数部分。代入上面那个式子就能得到

$b\ast x1+(a-(a/b)\ast b)\ast y1$
$=b\ast x1+a\ast y1-(a/b)\ast b\ast y1$
$=a\ast y1+b\ast (x1-a/b\ast y1)=gcd$

然后通过待定系数法就能得到$x=y1,y=x1-a/b\ast y1$

代码实现如下：

#include 

using namespace std;

typedef long long ll;

ll ExGcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) // a*x+b*y=gcd(a,b)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll x1, y1;
    ll gcd = ExGcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1 - a / b * y1; // x和y的计算可以通过前后两次的递归构造等式，然后利用待定系数法用x1，y1，a，b表示出x和y
    return gcd;
}

ll invert(ll a, ll b) // 求a在b下的逆元x，不存在则返回-1
{
    ll x, y;
    ll gcd = ExGcd(a, b, x, y);
    return gcd == 1 ? (x + b) % b : -1; // 这里加b的原因是x可能求出来是负的，加上模数再取模可以保证是正的
}

int main()
{
    ll a, b;
    cin >> a >> b;
    if (invert(a, b) != -1)
        cout << a << "在" << b << "下的逆元是：" << invert(a, b) << endl;
    else
        cout << "逆元不存在" << endl;
    return 0;
}