数学建模学习笔记（5）初等数据处理方法
数据及其品质
1.提供数据
2.不提供数据 自己寻找可以反映问题本质的数据
3.问你需要什么数据 题目会提供一定的数据
4.需要自己判断应该采集什么数据才能说明什么事情
需要评估数据的精确性
分析数据时遇到的问题：
1.根据收集到的数据进行建模，要么数据有明显特征，要么插值
2.按照选出的一个或多个模型对数据进行拟合
3.从已经你和的模型中选取最合适的
观察法和初等数学方法
1.通过大量数据利用变量之间的比例性质得到自然规律（欧姆定律，万有引力定律，胡克定律等等）
2.观察法和初等数学方法相结合（参数方程，基本数学问题）
eg.将4条腿长相同的椅子放在不平的地上，怎么样才能放平？
问题分析：假定椅子中心不动，每条腿的着地点为ABCD，AC和BD的连线作为x.y轴，转动椅子看做坐标的旋转. 角α是旋转之后与初始位置的夹角。g(α)是AC旋转完与地面距离之和， f(α)表示BD两腿旋转之后与地面的距离之和，g和f都是连续函数，地面是一个连续的的曲面，由于三条腿总能同时着地（g=0或者f=0），所以g*f=0恒成立，则问题转化为：证明存在α使f=g=0
数据拟合方法
拟合和插值都是要求通过已知的观测数据去寻求某个近似函数，使得近似函数与已知数据有较高的拟合精度。
拟合：求过已知有限个数据点的近似函数，不要求过所有的数据点，只要求总偏差最小，反应基本趋势
插值：求过已知有限个数据点的近似函数，要求过每一个数据点
绝对偏差：数据点和拟合曲线之间的纵向偏差，拟合曲线上（Xi,Yi）与（Xi, f(Xi)）之间距离之和最小
eg.测量直线段 AB=13 BC=7 AC=19 .这时AC应该是13+7=20而不是19 求各自的真值
设真值AB=x1 BC=x2 AC=x3=x1+x2 设残差r1=x1-13 r2=x2-7 r3=x3-19
则要指定r1 r2 r3的值使|r1| |r2| |r3|的最大者达到最小（Chebyshev准则）
记最大者是r 则要最小化r 约束条件 -r≤r1≤r -r≤r2≤r -r≤r3≤r
转化为经典数学线性规划问题：
r-x1+13≥0 (r-r1≥0)
r+x1-13≥0 (r+r1≥0)
r-x2+7≥0 （r-r2≥0）
r+x2-7≥0 (r+r2≥0)
r-x1-x2+19≥0 （r-r3≥0）
r+x1+x2-19≥0 (r+r3≥0)
总结：
数据拟合有三种判别准则：偏差的绝对值之和最小、偏差的最大绝对值最小、偏差的平方和最小（最小二乘法）。
插值方法
插值函数：已知某未知函数y=f(x)（不知道具体表达式）的一组观测数据（xi,yi)，求一个φ(x)使φ(xi)=yi，则φ(x)≈f(x)，φ(x)是f(x)的插值函数。xi为插值结点，φ(xi)=yi为插值条件。
1.拉格朗日插值法点击打开链接
插值多项式：已知函数y=f(x)上x0 x1 x2.......xn等n+1个不同的点对应的函数值为y0 y1 y2 .......yn，要求一个次数不超过n的多项式pn(x)=a0+a1x+a2x^2+........+anx^n使得在xi上有pn(xi)=yi。
只要n+1个插值节点xo x1 x2.....xn互异，满足插值条件的插值多项式就唯一存在。
Rn(x)=f(x)-pn(x)为pn(x)的截断误差/插值余项。
思考：
回顾带拉格朗日余项的Taylor公式，其中的Taylor多项式与n次拉格朗日插值多项式有什么区别？
泰勒公式：
拉格朗日插值多项式：
其中 
2.牛顿插值法点击打开链接
函数的差商：给定函数
可将k阶差商 表示为函数值 的组合：
牛顿插值公式：
每增加一个节点插值多项式只增加一项，便于计算
记为：
其中，
3.Hermitc插值法点击打开链接
4.分段线性插值法：
将每两个相邻的节点用直线连接起来形成的一条折线，就是分段线性插值函数 In(x)
计算量与节点的个数无关，n越大，分段越多，误差越小 但是不够光滑
5.样条插值法点击打开链接
这一章可以说是非常懒了 公式好复杂也不想一个一个打 记也记不住 嘛~好累额