深大算法实验五——桥
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问题描述：
实验要求
一.桥的定义
二.求解问题
三.实现算法：
1. 存储数据结构
2.基准算法：
3. 改进的基准算法
4. 使用边生成并查集树边进行LCA算法
5. LCA＋路径压缩方法
数据分析：
基准算法：
实验结论：
问题描述：
1. 桥的定义
在图论中，一条边被称为“桥”代表这条边一旦被删除，这张图的连通块数量会增加。等价地说，一条边是一座桥当且仅当这条边不在任何环上。一张图可以有零或多座桥。
图 1 没有桥的无向连通图 图 2 这是有16个顶点和6个桥的图
（桥以红色线段标示）
2. 求解问题
找出一个无向图中所有的桥。
实验要求
- 实现上述基准算法。
- 设计的高效算法中必须使用并查集，如有需要，可以配合使用其他任何数据结构。
- 用图2的例子验证算法正确性。
- 使用文件 mediumG.txt和largeG.txt 中的无向图测试基准算法和高效算法的性能，记录两个算法的运行时间。
- 设计的高效算法的运行时间作为评分标准之一。
- 提交程序源代码。
- 实验报告中要详细描述算法设计的思想，核心步骤，使用的数据结构。
一.桥的定义
在图论中，一条边被称为“桥”代表这条边一旦被删除，这张图的连通块数量会增加。等价地说，一条边是一座桥当且仅当这条边不在任何环上。一张图可以有零或多座桥。
二.求解问题
找出一个无向图中所有的桥。
三.实现算法：
1. 存储数据结构
由于图的存储方式有两种，一个是邻接表，另外一个是邻接矩阵。邻接矩阵有实现简单，用于矩阵运算时方便等特点，但是本次算法不需要进行矩阵的运算，且需要使用到深度优先遍历，所以本次实验存储图的方式是使用邻接表的形式进行存储。
在使用邻接表进行存储时，DFS的时间复杂度是
，而在使用邻接矩阵进行存储的话，DFS的时间复杂度是
，所以说用邻接矩阵存储效率是更高的。
因为实验中有删除边或者加入边的操作，所以同时也将边存储在一个数组当中。
邻接表的形成我是是用了一个二维数组，由于每一个节点都是按顺序的，数组的第一个标志就代表一个节点，后面的代表与他相连接的节点。
2.基准算法：
基准算法的思想是十分简单的，实际上就是先将图按照遍历一边找到有多少个连通分量，再将每一个边进行删除，再次遍历该图，检查联通分量是否有增加。
伪代码：
Standard (edge, edgeNum, Bridge)
conNum=DFS()
for i = 0 to edgeNum
Delete(edge[i])
DelNum = DFS()
if (DelNum > conNum)
Bridge.add(edge[i])
这种算法实现简单但是十分的消耗时间，所以是不太推荐使用的。
算法效率是：
3. 改进的基准算法
若一个图有很多的连通子图，那么上述删除边后，会遍历到不在这个边上的连通图。
例如下图，
节点0和1是一个连通图，当他们的边被删除后，若使用没有改进的基准算法，则还要遍历其他没有用的连通图，这大大降低了效率。
改进的算法是先将该图分离成各个连通子图，然后在删除相应边的连通子图上进行遍历，检查是否能够经过一次深度优先遍历访问到所有的节点，如果无法遍历到所有的节点，则说明这是一个桥，并记录。
当连通子图数量很多的时候，使用这个算法会比普通基准算法的效率要高很多，方式连通子图很少或者图本身是一个连通图时，则这个改进算法并不能提高很多的效率。
4. 使用边生成并查集树边进行LCA算法
该算法的主要思想是先不产生一个图的邻接表，先将每个节点视为一颗树。当访问一条边时，将相应的节点进行连接，也就是Union操作，并且更新新的树上的数据。
树的存储由数组存储，并且有5个数据，分别是Father，记录该节点连接的上一个节点编号。Head，该节点所在的树的树根节点编号。Level，属于这个数的第几层。Next，记录下该节点下一个节点，用数组存储。Num，代表这棵树有多少个节点。
并查集生成树时，总共会有三种情况：①：一个节点在树中，另外一个节点是单一节点。②：两个节点分别在两颗不同的树中。③：两个节点在同一颗树中。
情况①：此时只需要将单独的节点加入到对应节点，并且更新该节点的数据即可。
情况②：这种情况有些许麻烦，如图所示，
首先将这两个节点进行连接，向上寻找头节点并且将遍历过程中的节点的father和next进行反转，并且运用DFS来进行对新增的树的head和level进行更新。
为了地高效率，则要将节点数少的树连接道节点数多的树当中，所以在最开始的时候要判断哪一颗树的节点数大。
情况③：当两个两个节点都在同一颗树上时，则说明这条边不是桥，并且要将树当中的环边进行删除。
如图所示，当加入（1，4）这条边时，这两个节点都在同一颗树上，则选择Level值大的节点进行向上的遍历，一直遍历到与另一个节点的level值相同，此时两个节点同时向上遍历，直到遍历到两个相同的节点。此时所遍历到的节点所对应的边都是属于环遍，要将其从桥边的数据中删除。
接着对该树进一步的优化，也就是路径压缩：
如图，（1，5）这条边是之前所检测的环边，则说明1，2，3，4，5所对应的边都是属于环边，当再一次进行删除环边操作时都会指向同一节点——1节点。但是如果做路径压缩的话，当再加入一个环边进行遍历时（如加入边（2，6））则遍历的次数要多。
路径压缩就是将所遍历的节点全部存储到刚刚同时遍历到的节点处，此图就是将遍历到的2，3，4，5节点放到了共同节点1下面。
当此图加入（2，6）边时，若没有进行路径压缩，则需要进行5次遍历，若进行了路径压缩，则只需要遍历3次，明显次数变少。
这种算法使用到了并查集生成树，可以更加快速的判断条边是否的是环遍，但是也存在一些相应的问题，由于每次union都有可能进行一次对数据更新的DFS操作，所以当数据很大且树逐渐变大之后，速度会越来越慢。
5. LCA＋路径压缩方法
该算法与上一个算法的思路是差不多的，只不过该算法是先生成生成树，在进行对环遍减去。
先将数据用邻接表进行存储，并且用DFS深度优先遍历生成一颗生成树，并且按照上述算法一样找到环边并对路径压缩。
在路径压缩时由于要更新节点的level值所以也会使得算法效率十分的缓慢，那么是否有方法可以不用更新level值也可以实现该操作呢？
实际上当路径压缩后，可以不更新level值，因为当有一个节点是在更新后的节点后面时，肯定要经过更新过后的节点，只是在向上遍历的时候要每一次判断哪一个节点的level值更大。如图所示。
当边（3，8）进行连接时，那么经过路径压缩后则会变成右图，右边黄色的节点的Level值全部都为1，但是在路径压缩后节点9和10的Level值没有更新，还是保持原来的Level为4。那么下一次连接（7，9）节点时，因为节点9的Level值比系欸但7的Level值大，所以先是节点9向上遍历，但当向上遇到节点8时，8的Level是1，比节点7的Level值小，此时就转换，让节点7向上遍历，直到遍历到节点1与系欸但8的Level值相等的情况下，两边的节点再同时向上遍历到共同节点。
找到环边以后，我们先记录下环边，等到所有环边被找到后再进行统一的删除。
以上是找环边的操作，同样的自旋边和重复边也可以按照这个算法进行。
数据分析：
基准算法：
经过优化后的基准算法跑mediumDG数据集时只需要用0.094秒，但是跑largeG数据集时需要消耗很多的时间，基本上跑不出来。
同样的使用边生成并查集树边进行LCA操作跑mediumDG需要0.075秒，但是依旧无法跑largeG数据集，这是因为每次加一颗树的时候都要进行一次DFS，这明显使得时间降低了。
对于先进行DFS生成树在进行LCA的算法，mediumDG只需要0.064秒，但是当我跑largeG数据集时或发生错误，后面到网上查找资料这是因为编译器的栈空间不足导致的，查阅网上资料后我将CodeBlocks的IDE的栈空间进行了扩展，就可以跑数据集了。
DFS生成树再进行LCA的算法，largeG数据集只需要20.282秒就可以跑出来。
实验结论：
本次实验我所用的时间比较久，我一开始使用边生成树边进行LCA找环边的算法，但是这种算法在运行largeG时十分的缓慢，所以后面我又是用了先生成树在进行lca找环边的算法，这样可以跑出数据集但还是不是特别的快速。
本次实验理解并且实现了图的算法和数据结构，对图这种数据结构有了更深层次的理解。