位运算：原码、反码、补码

   很多东西，长时间不用不看，会越来越生疏，昨天回顾了一下位运算，在这里把相关的知识点(原码、反码、补码)记录下，以便后期查看！

原码

  1. 八位二进制举例说明，符号位(首位：0-正数，1-负数) 加上 数值位

负数(原码)	正数(原码)
1000 0000 (-0)	0000 0000 (0)
1000 0001 (-1)	0000 0001 (1)
1000 0010 (-2)	0000 0010 (2)
...	...
1111 1110 (-126)	0111 1110 (126)
1111 1111 (-127)	0111 1111 (127)

  2. 从原码看，除去符号位，八位二进制的取值范围是 [ 1111 1111 , 0111 1111 ]，即 [ -127 , 127 ]。

反码

  1.正数的反码是其自身，负数的反码是符号位不变，其余数值位取反。

负数(原码)	负数(反码)	正数(原码、反码)
1000 0000 (-0)	1111 1111 (-0)	0000 0000 (0)
1000 0001 (-1)	1111 1110 (-1)	0000 0001 (1)
1000 0010 (-2)	1111 1101 (-2)	0000 0010 (2)
...	...	...
1111 1110 (-126)	1000 0001 (-126)	0111 1110 (126)
1111 1111 (-127)	1000 0000 (-127)	0111 1111 (127)

  2. 从反码看，除去符号位，八位二进制的取值范围是 [ 1000 0000 , 0111 1111 ]，还是 [ -127 , 127 ]。

补码

  1. 正数的补码是其自身，负数的补码是在其反码的基础上+1。

负数(原码)	负数(反码)	负数(补码)	正数(原码、反码、补码)
1000 0000 (-0)	1111 1111 (-0)	0000 0000 (-0)	0000 0000 (0)
1000 0001 (-1)	1111 1110 (-1)	1111 1111 (-1)	0000 0001 (1)
1000 0010 (-2)	1111 1101 (-2)	1111 1110 (-2)	0000 0010 (2)
...	...	...	...
1111 1110 (-126)	1000 0001 (-126)	1000 0010 (-126)	0111 1110 (126)
1111 1111 (-127)	1000 0000 (-127)	1000 0001 (-127)	0111 1111 (127)
		1000 0000 (-128)

  2. 从补码看，除去符号位，八位二进制的取值范围是 [ 1000 0000 , 0111 1111 ]，比原码和反码多了一个最低数，即 [ -128 , 127 ]。

既然有了原码，为什么还要出现反码和补码呢？

• 从上面的内容可以看出，正数的原码、反码、补码是一样的，但是负数的都不一样，所以就不用过多解释正数了，我们主要看一下负数。如下图计算：明显看出原码计算结果有问题，并且正负数相加结果变小了。

计算	结果
1 - 1	0
1 + (-1) = 1 - 1	0
0000 0001 (1的原码) + 1000 0001 (-1的原码)	1000 0010 (原码) (-2)

• 为了解决计算机做减法出现上图问题，以及让符号位也可以直接参与计算，避免计算机对符号位的识别，于是出现了反码。如下图计算：

计算	结果
1 - 1	0
1 + (-1) = 1 - 1	0
0000 0001 (1的反码) + 1111 1110 (-1的反码)	1111 1111 (反码) = 1000 0000 (原码) (-0)

• 可以看出，通过上图描述的反码计算，结果正确了，但是这里发现了两个问题，一个是出现了-0(1000 0000)和+0(0000 0000)，另外一个是在正负数反码相加的结果 大于0时，出现了一个单位的误差。如下图计算：

计算	结果
2 - 1	1
2 + (-1) = 2 - 1	1
0000 0010 (2的反码) + 1111 1110 (-1的反码)	0000 0000 (反码) = 0000 0000 (原码) (0)

• 为了解决这个单位差，和正负0的问题，出现了补码，在反码的基础上+1。如下图计算：

计算	结果
2 - 1	1
2 + (-1) = 2 - 1	1
0000 0010 (2的补码) + 1111 1111 (-1的补码)	0000 0001 (补码) = 0000 0001 (反码) = 0000 0001 (原码) (1)

• 通过补码计算，这里发现一个问题，-127(最低数)变成了 1000 0001，这样的话，1000 0000就没有了对应的十进制数，那么-128就来了。

-128由来
-128 = -1 + (-127) = 1111 1111(-1补码) + 1000 0001(-127补码) = 1000 0000(-128补码) = -27

-由此可以看出 8位二进制(byte类型)的范围是  [-2⁷, 2⁷-1]，如下图：

负数(补码)	正数(补码)
0000 0000 (-0)	0000 0000 (0)
1111 1111 (-1)	0000 0001 (1)
1111 1110 (-2)	0000 0010 (2)
...	...
1000 0010 (-126)	0111 1110 (126)
1000 0001 (-127)	0111 1111 (127)
1000 0000 (-128)

• 由以上也可以推断出为什么
     16位二进制(short类型)的范围是  [-2¹⁵, 2¹⁵-1]；
     32位二进制(int类型)的数据范围是  [-2³¹, 2³¹-1]
     64位二进制(long类型)的数据范围是  [-2⁶³, 2⁶³-1]