树上差分与经典例题

类比于数组的差分问题的树上的差分问题，对某一条路径的点权或者边权进行频繁的全部加某个数的操作，我们结合一下lca就可以简单的解决这类问题

下面是很经典的公式：

树上点权差分:

diff[a]++,diff[b]++,diff[lca(a,b)]--,diff[fa[lca(a,b)][0]]--;

树上边权差分：

先处理差分数组最后再将边权下放就行了

diff[a]++,diff[b]++,diff[lca(a,b)]-=2;

树上任意两点的距离：dist[a] + dist[b] - 2*dist[lca(a,b)]   (dist数组在这里指的是我们的根节点到该节点的路径之和)

下面是一道经典点权差分的题目:

#include
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
int e[N],ne[N],h[N],idx;
int n;
int q[N];
int diff[N];
int depth[N],fa[N][25];

void add(int a,int b){
	e[idx] = b,ne[idx] = h[a],h[a] = idx++;
}
void dfs(int u,int father){
	depth[u] = depth[father]+1;
	fa[u][0] = father;
	
	for(int i=1;i<=20;i++)
	 fa[u][i] = fa[fa[u][i-1]][i-1];
	
	for(int i = h[u];~i;i=ne[i]){
		int j = e[i];
		if(j==father)continue;
		dfs(j,u);
	}
}
int lca(int a,int b){
	if(depth[a]=0;i--)
	 if(depth[fa[a][i]]>=depth[b])
	  a = fa[a][i];
	if(a==b)return a;
	
    for(int i =20;i>=0;i--)
     if(fa[a][i]!=fa[b][i])
      a = fa[a][i],b = fa[b][i];
      
    return fa[a][0];
}


void dfs2(int u,int father){
	
	for(int i = h[u];~i;i=ne[i]){
		int j = e[i];
		if(j==father)continue;
		dfs2(j,u);
		diff[u]+=diff[j];
	}
}
int main()
{
	cin>>n;
	memset(h,-1,sizeof h);
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>q[i];
	for(int i=1;i>a>>b;
		add(a,b),add(b,a);
	}
	
	dfs(1,0);
	
	for(int i=1;i+1<=n;i++){
		int a = q[i];
		int b = q[i+1];
		
		int anc  = lca(a,b);
		//cout<

下面是一道经典的边权差分的板子题目：

 

 

#include
#define int long long 
using namespace std;

const int N = 1e6+10;
int e[N],ne[N],w[N],h[N],idx;
int fa[N][25],depth[N];
int n,m,q;
int diff[N];

void add(int a,int b,int c){
	e[idx] = b,ne[idx] = h[a],w[idx] = c,h[a] = idx++;
}
void dfs(int u,int father){
	depth[u] = depth[father]+1;
	fa[u][0] = father;
	
	for(int i=1;i<=20;i++)
	 fa[u][i] = fa[fa[u][i-1]][i-1];
	
	for(int i = h[u];~i;i=ne[i]){
		int j = e[i];
		if(j==father)continue;
		dfs(j,u);
	}
}

int lca(int a,int b){
	if(depth[a]=0;i--)
	 if(depth[fa[a][i]]>=depth[b])
	  a = fa[a][i];
	  
	if(a==b)return a;
	
	for(int i=20;i>=0;i--)
	 if(fa[a][i]!=fa[b][i])
	  a = fa[a][i],b = fa[b][i];
	
	return fa[a][0];
	
}
void dfs1(int u,int father){
	
	for(int i =h[u];~i;i=ne[i]){
		int j = e[i];
		if(j==father)continue;
		dfs1(j,u);
		diff[u]+=diff[j];
	}
}
void dfs2(int u,int father){
	
	for(int i =h[u];~i;i=ne[i]){
		int j = e[i];
		if(j==father)continue;
		diff[j]+=w[i]+diff[u];
		dfs2(j,u);
	}
}

int dist(int a,int b){
	return diff[a]+diff[b]-2*diff[lca(a,b)];
}
signed main()
{
	cin>>n>>m>>q;
	memset(h,-1,sizeof h);
	for(int i=1;i>a>>b>>c;
		add(a,b,c),add(b,a,c);
	}
	
	dfs(1,0);
	
	while(m--){
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		diff[a]+=c;
		diff[b]+=c;
		diff[lca(a,b)]-=2*c;
		
	}
	
	dfs1(1,0);
	dfs2(1,0);
	
	
	while(q--){
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		cout<

虽然都是板子题目，也算是解决了关于这个知识的学习~

所以树上差分是典型的数据结构题目，肯定会结合一下lca~