LeetCode 0918. 环形子数组的最大和：动态规划 + 思维（反转）

【LetMeFly】918.环形子数组的最大和：动态规划 + 思维（反转）

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-sum-circular-subarray/

给定一个长度为 n 的环形整数数组 nums ，返回 nums 的非空 子数组 的最大可能和 。

环形数组 意味着数组的末端将会与开头相连呈环状。形式上， nums[i] 的下一个元素是 nums[(i + 1) % n] ， nums[i] 的前一个元素是 nums[(i - 1 + n) % n] 。

子数组 最多只能包含固定缓冲区 nums 中的每个元素一次。形式上，对于子数组 nums[i], nums[i + 1], ..., nums[j] ，不存在 i <= k1, k2 <= j 其中 k1 % n == k2 % n 。

 

示例 1：

输入：nums = [1,-2,3,-2]
输出：3
解释：从子数组 [3] 得到最大和 3

示例 2：

输入：nums = [5,-3,5]
输出：10
解释：从子数组 [5,5] 得到最大和 5 + 5 = 10

示例 3：

输入：nums = [3,-2,2,-3]
输出：3
解释：从子数组 [3] 和 [3,-2,2] 都可以得到最大和 3

 

提示：

• n == nums.length
• 1 <= n <= 3 * 104
• -3 * 104 <= nums[i] <= 3 * 104​​​​​​​

方法一：动态规划 + 思维（反转）

首先讨论如何求普通数组最大子数组

很简单，使用$i$遍历数组，使用一个变量$nowM$用来记录以nums[i]结尾的最大子数组之和，使用另外一个变量$M$来记录整个过程中的最优解。

int nowM = nums[0], M = nums[0];
for (int i = 0; i < n; i++) {
    nowM = max(nowM + nums[i], nums[i]);  // 以nums[i]结尾有两种选择：连上之前的数组 或 从nums[i]单独开始
	M = max(M, nowM)
}

接着讨论如何从普通数组到循环数组

其实我们换个思路，若是使用了循环数组的特性（$数组后几个元素+数组前几个元素$），不就等价于$总数组-中间几个元素$吗？

因此我们只需要和“计算最大子数组”的方式相同，计算出“最小子数组”，再使用数组总和减去最小子数组，就得到“跨两端的子数组”的最大和了。

细节注意

注意子数组必须非空，因此如果数组中所有元素都小于0的话（M < 0），不能返回0（一个元素都不选）

• 时间复杂度$O(len(nums))$
• 空间复杂度$O(1)$

AC代码

C++

class Solution {
public:
    int maxSubarraySumCircular(vector<int>& nums) {
        int nowM = nums[0], M = nums[0];
        int nowm = nums[0], m = nums[0];
        int s = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            nowM = max(nowM + nums[i], nums[i]);
            M = max(M, nowM);
            nowm = min(nowm + nums[i], nums[i]);
            m = min(m, nowm);
            s += nums[i];
        }
        return M < 0 ? M : max(M, s - m);
    }
};

Python

# from typing import List

class Solution:
    def maxSubarraySumCircular(self, nums: List[int]) -> int:
        nowM, M = nums[0], nums[0]
        nowm, m = nums[0], nums[0]
        s = nums[0]
        for i in range(1, len(nums)):
            nowM = max(nowM + nums[i], nums[i])
            M = max(M, nowM)
            nowm = min(nowm + nums[i], nums[i])
            m = min(m, nowm)
            s += nums[i]
        return M if M < 0 else max(M, s - m)

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