20211012隐函数求导公式

一、一个方程的情形

隐函数存在定理1：

设函数 在点 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 ，则方程 在点 的某一邻域内恒能确定一个连续且具有连续导数的函数 ，它满足条件 ，并有

公式 就是隐函数求导公式。

将方程 所确定的函数 代入 ，的恒等式：

其左端可看作是 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得：

因为 连续，且 ，所以存在 的一个邻域，在这个邻域内 ，于是得

如果 的二阶偏导数也都连续，可以把等式 的两端看做 的复合函数而再一次求导：

隐函数存在定理2：

设函数 在点 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 ，则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 ，它满足条件 ，并有

例题：设 ，求 .

解： 设 ，则 .当 时，应用公式 得，

再一次对 求偏导数，得：

二、方程组的情形

隐函数存在定理3：

设函数 在点 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 ，且偏导数所组成的函数行列式（或称为雅克比 式）

再点 不等于零，则方程组 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 ，它们满足条件 ，并有