数学建模方法之TOPSIS优劣解距离法
在数学建模的学习中，我们学习了层次分析法，但是层次分析法还有很多的缺陷，比如：
（1）评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大。 平均随机一致性指标RI的表格中n最多是15。
（2）如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何也无法利用这些数据来使得评价的更加准确。
所以我们引出了TOPSIS法去解决这一系列问题。
TOPSIS （Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution ）法是C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出，TOPSIS法根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中进行相对优劣的评价。
TOPSIS法有以下几个步骤：
1、将原始矩阵正向化
常见的四种指标有
所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为 极大型指标。
转化的方法：
（1）极小型转化为极大型:
(2)中间型转化为极大型：
（3）区间型转化为极大型：
2、正向化矩阵标准化
标准化的目的是消除不同指标量纲的影响。
3、计算得分并归一化
再比较得分给出相应的解释说明就好啦~
再给大家附上一些代码：
clear;clc
load data_water_quality.mat
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标'])
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0： ']);
if Judge == 1
Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]： '); %[2,1,3]
for i = 1 : size(Position,2) %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数
X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
% Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
% 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i)) 回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素
% 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
% 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
% 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
end
disp('正向化后的矩阵 X = ')
disp(X)
end
%% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)
%% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5; % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5; % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N); % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')
最后声明，本文给出的截屏以及代码均参考于清风老师的数学建模课程，大家可以去b站搜索清风老师的数学建模课程，免费试看几节，有兴趣的同学也可以去购买哦。我在购买了老师的课程之后，有感觉对数学建模熟悉了很多，觉得效果不错，老师讲得十分详细，而且附带的资料也很详细，觉得自己有了进步。大家也可以去清风老师的微信公众号“数学建模学习交流”里领取更多学习资料哦~最后给大家附上我在学习TOPSIS法时做的的笔记，大家可以康康哟！
（第一次发帖，如果写的有什么不恰当的地方，也请各位同学指正！当然如果有侵犯了知识产权的也请联系我！）
