背包问题的研究

背包问题

1. 01背包问题.

(1) 题意简述

[问题描述]

一个旅行者有一个最多能装$M$公斤的背包,现在有$N$件物品,他们的重量分别是$W_1$,$W_2$,$W_3$,$...$,$W_n$,价值分别为$C_1$,$C_2$,$C_3$,$...$,$C_n$,求旅行者能获得的最大价值.

[输入格式]

第$1$行,两个整数,$M,N$

第$2$至$N+1$行,每行两个整数$W_i,C_i$,表示每个物品的重量和价值.

(2) 解法

解法1:

设$F[i][v]$表示当前进行到第$i$件物品,总重量小于等于$v$的最大价值.故转移方程可以这样写:$F[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i])$ 最后输出$F[n][m]$.

解法2:

我们会发现,每一次,$i$没有参与什么实质性的运算,所以,我们可以考虑删掉$i$,只保留$v$,其中,$F[v]$表示重量小于等于$v$可获得的的最大价值.

所以,动态转移方程为:$F[v]=max(f[v],f[v-w[i]]+c[i])$,当且仅当$v>w[i],1\le i\le n$时.

(3) 代码

解法1代码:

#include
using namespace std;
int m,n;
int w[31];
int c[31];
int f[31][201];
int main()
{
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>c[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int v=m;v>0;v--)
        {
            if(w[i]<=v)
            {
                f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]);
            }
            else
            {
                f[i][v]=f[i-1][v];
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

解法2代码:

#include
using namespace std;
int m,n;
int w[31];
int c[31];
int f[201];
int main()
{
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>c[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int v=m;v>=w[i];v--)
            f[v]=max(f[v],f[v-w[i]]+c[i]);
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

2. 完全背包问题