2019-05-22

2050折线分割平面:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2050

第一次思路：我直接画了三条折线的图，如下图所示，画出三条折线最大能分割出14条线（错误的！！！）。我通过三个图，找到了一个错误的规律：

n=1时，封闭区域为0，开放区域为2；

n=2时，封闭区域为3，开放区域为4；

n=3时，封闭区域为8，开放区域为6；

为了验证封闭区域是否为n*n-1，开放区域为n*3，我画出了，四条折线的图，居然奇迹般的验证成功了。于是写出了如下的代码：

#include

int main()

{

   int m,n,sum;

   scanf("%d",&m);

   while(m--)

    {

      scanf("%d",&n);

      sum=0;

      sum=n*n-1+n*2;

      printf("%d\n",sum);

    }

    return 0;

}

这时候在oj上面提交，连续提交了三次都没成功。我感觉应该是最大切割平面的数量上出现了错误。

查询百度之后得出最大数量是16,但是我在草稿纸上面画了挺多种方案，就是没有一种是16的，这让我很头疼，看了前面几周同学发的笔记和一些博客。发现这是一道递推的题目，下面整理了一下：

1、先看看增加直线的情况：

不添加直线时，只有 1 个面；添加一条直线时，有 2 个面；添加两条直线时，有 4 个面；再往后添加直线时，为使分隔面尽可能的多，则第 n 条直线需与前 n - 1 条直线相交且不存在三线或三线以上交于一点的情况。这样的话，在平面中，增加第 n 条直线就会增加 n - 1 个交点。也不难发现，平面中增加 i 个点就会增加 i + 1 个面。所以 n 条直线分割平面最大数是1 + 1 + 2 + 3 + ... + n = (n2 + n + 2) / 2。

2、再看看增加平行线的情况：

一组平行线都不添加时，只有 1 个面；添加一组平行线时，有 3 个面；添加两组平行线时，有 9 个面；再往后添加平行线时，和上述添加直线情况类似。当第 n 次添加平行线时，前面已经有 2 * ( n - 1) 条直线了，所以第 n 组平行线，即 2n - 1 条和第 2n 条直线添加进去的时候，各增加了 2 * ( n - 1) 个点，也就是增加了 2 * ( n - 1) + 1 个面。所以第 n 次添加平行线增加的总面数是 2 * [ 2 * ( n - 1) + 1 ] = 4 * n - 2 .所以 n 组平行线分隔的总面数是 1 + ( 3 + 4 * 1 - 2 ) + ( 3+ 4 * 1 - 2 + 4 * 2 - 2 ) + …… + ( 3+ 4 * 1 - 2 + 4 * 2 - 2 + …… + 4 * n -2 ) = 2 * n2 + 1 。

3、最后是本题增加折线的情况：

平行线的一端相交就成了折线，相交后，有两个面就会合为一个面，所以 n 组平行线变成折线以后，就会减少 n 个面。所以本题 n 条折线就分割出 2 * n² - n + 1 个面。

正确代码为：

#include

int main()

{

   int m,n,sum;

   scanf("%d",&m);

   while(m--)

    {

      scanf("%d",&n);

      sum=0;

      sum=2*n*n-n+1;

      printf("%d\n",sum);

    }

   return 0;

}

心得：看似题目复杂，其实程序很简单，重要的是找出规律。