高中奥数 2022-03-20

反证法是我们论证数学命题时常用的有力工具.有些问题从正面很难下手,就应试着用反证法来考虑,因为当我们从正面去看问题而发现条件不多时,反证假设就相当于又加了一个条件,这样自然更易入手.

反证法有着广泛的应用,这一章我们就来看一下它在不等式证明中的应用.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P058 例01）

求证:对任何实数、、,下述三个不等式不可能同时成立:

证明

用反证法,假设三个不等式都成立,那么

则有,

上面三个不等式相乘即得

矛盾!

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P058 例02）

若、、、为非负整数,且.求证:,.

证明

先证明.用反证法.

若,不妨设,则.故

矛盾!所以,代入原式即得,进而有.

说明对于整数、,若,则.这一性质在处理与整数有关的不等式时很有用.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P059 例03）

已知12个实数满足

求证:从这些数中至少可找到3个正数和3个负数.

证明

用反证法,不妨设中至多有两个负数,则存在使、、、都是非负实数.

由题设可得
$$\begin{cases}
&a_{k}-a_{k+1}+a_{k+2}<0,\
&a_{k+}-a_{k+2}+a_{k+3}<0.
\end{cases}$$
两式相加得,此式与,矛盾!

所以中至少有3个正数和3个负数.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P059 例04）

已知正整数、、、、满足:,求证:.

证明

用反证法.

若,令,其中、是两个互素的正整数.

因为,有,则

又由得出,故,同理有.于是,所以,,因此

由可知,即.矛盾!故.