[编译原理] 期末复习，求FIRST集和FOLLOW集。简单易懂，例题讲解。

1、终结符和非终结符

终结符：ε、a、b、c、d、+、-、*、/、，等非大写字母

非终结符：A、B、C、D、S、… 大写字母。

2、求first集

核心理念：first(A) A能推出的第一个是什么。

结果的取值范围：终结符，即非大写字母。答案要写成一个集合。

2.1 例1

G[A]:

A---->aB|ε

A---->c

解析：因为A能推出的第一个字符是a、ε、c，且都是非大写字母（都是终结符），所以可以直接得到

first(A)={a,ε,c}

竖线 | 表示或

2.2 例2

G[A]：

A-----> Bc | ε

B ------>b | ε

解析：A能推出的第一个字符是B，B是大写字母，即是非终结符，我们要利用产生式（规则）对B进行替换，

得到 A---->bc | ε | εc, 由于 εc 可以化简成 c，所以得到 A---->bc | ε | c。 可以看出，A能推出的第一个字符是b、 ε 、c，且都是非大写字母，所以，first(A)={b,ε,c}

因为B能推出的第一个字符是 b、ε，所以first(B) = {b,ε}

掌握：替换

2.3 例3

G[S] :

S ----> ABc

A------>a | ε

B -------> b | ε

	答案
first(S)	{a,b,c}
frst(A)	{a,ε}
first(B)	{b,ε}

解析first(S):

S-----> ABc，将A和B都进行替换，得到 S------>abc | aεc | εbc | εεc ,即 S------>abc | ac | bc | c

替换过程：就是A取a时，B可以取b或 ε； A取ε时，B可以取b或ε。就是小学学的排列组合

所以，first(S)={a,b,c}

first(A) 和 first(B)很简单，不赘述。

2.4 例4

G[A] :

A------> BC

B------>b | ε

C ------->c|ε

	答案
first(A)	{b,c,ε}
first(B)	{b,ε}
first©	{c,ε}

解析first(A)：A----->BC,对B和C都进行替换， A---->bc| bε | εc | εε ,即 A------> bc | bε | c | ε

注：εc 为什么能变成 c，因为 ε后面有个终结符c，而ε代表空串，所以εc可以变成c。

所以，first(A) = {b,c,ε}

2.5 例5

G[E]:

E-------> TE^’

E^’------> +TE^’ | ε

T--------> FT^’

T^’----------> *FT^’ | ε

F ------------>(E) | i

	答案
first(E)	{ ( , i }
first(E’)	{ + , ε }
first(T)	{ ( , i }
first(T’)	{ *, ε }
first(F)	{ (, i }

解析：做完前面的例题，你应该会求first了，就是看能推出的第一个是啥，如果是大写字母(非终结符)，则要对其进行替换。

• E== > T ==> F ==> ( | i

​ 所以，first(E）= { (, i}

• E^’ ===> + | ε

​ 所以，first(E^’)={ + ,ε }

• T ==> F ==> ( | i

  所以，first(T) = { ( , i}

• T^’ ==> * | ε

  所以，first(T^’)= { ( ,i }

• F ==> ( | i

  所以，first(F) = { ( , i }

3、求follow集

空就是 ε 。 式子就是产生式。

规则②的第二种情况其实和规则①的情况是一样的，因为，当东西推出ε 时，就代表着A后面没有东西，所以，将follow(左)加入

规则②的情况1，如果A后面的东西是终结符(即非大写字母)可以直接加入。

规则②的情况1，如果first(东西)的集合里有 ε ，则

重点：如果求开始符的follow集，必须要将 # 加入。(记住就行，想了解原因的可以去看课本。)

一定要想求出first集，再去求follow集，因为求follow集的时候要用到first集

3.1 例1

G[S] :

S ----> ABc ①

A------>a | ε ②

B -------> b | ε ③

为了方便说明，我给每一个产生式标了序号。

	答案
first(S)	{a,b,c}
frst(A)	{a,ε}
first(B)	{b,ε}

	答案
follow(S)	{ #}
follow(A)	{b,c}
follow(B)	{c}

解析：

• follow(S): 因为S是开始符，所以，将 # 加入。然后再看S在哪个产生式的右边出现，发现这3个产生式的右边都没有S出现。所以，follow(S) = { #}

• follow(A): 发现A在产生式①的右边出现，A后面有东西，即A后面是B，我们由③可以知道，B可以推出b（非空），也可以推出空 ε ，所以，

  当B推不出空时，将first(B)除去ε后加入.

  当B推出空时，由于后面有个c，所以，此时相当于变成 S ---->Ac,此时 A后面有东西，所以，将终结符c加入

  综上follow(A) = { first(B)除去ε , c} = {b,c }

  这题有坑，有些人可能会写成 {b，#}，做错的原因就是: 当B推出空时，你没看到后面有个c，你直接把follow(S) 加入了，所以就错写成了 {b,#}

• follow(B):发现B在产生式①的右边出现，B后面有个终结符c，所以，将c加入。所以，follow(B) = {c}

3.2 例2

G[E]:

E-------> TE^’

E^’------> +TE^’ | ε

T--------> FT^’

T^’----------> *FT^’ | ε

F ------------>(E) | i

先求出first集合

	答案
first(E)	{ ( , i }
first(E’)	{ + , ε }
first(T)	{ ( , i }
first(T’)	{ *, ε }
first(F)	{ (, i }

再求follow集合

	答案
follow(E)	{#，）}
follow(E’)	{#，）}
follow(T)	{+，#，）}
follow(T’)	{+，），#}
follow(F)	{*，+，），#}

注：因为是集合，所以，里面字符的是无序的。字符是不重复的。和java里的Set是一样的。

解析：

G[E]:

E-------> TE^’

E^’------> +TE^’ | ε

T--------> FT^’

T^’----------> *F T^’ | ε

F ------------>(E) | i

• follow(E):E只在 F ------------>(E) | i 这个式子的右边出现。由于E的右边是），是一个终结符，所以，直接将）加入。又因为E是开始符，所以将#加入。所以，follow(E)={#, ) }

• follow(E^’): E^’ 在下面两个式子的右边都出现过，所以，两个式子都要看一下。

  E-------> TE^‘

  E^’------> +TE^’ | ε

  对于 E-------> TE^‘ ，由于 E^‘ 后面没东西，所以，将follow(E）加入，

  对于 E^’------> +TE^’ | ε，由于E^‘ 后面没东西，所以，将follow(E^’) 加入。因为咱求得是follow(^'),所以此时就是自己加入自己，对于集合来说，重复的元素是无意义的。

​ 综上，follow(E^’)={#，）}

• follow(T): T只在下面两个式子的右边出现。

  E-------> TE^’

  E^’------> +TE^’ | ε

对于E-------> TE^’： T的后面有东西，是E^’, 但是，我们要判断一下E^’能否推出 ε。由式子 E^’------> +TE^’ | ε可以知道，E^’可以推出非空 也可以推出空。当E^’ 推出非空时，将first(E^’) 这个集合去掉空后加入；当E^’ 推出空时，将follow(E)加入.

对于， E^’------> +TE^’ | ε ，T的后面有东西，是E^’，结果和上面一样，重复的元素加入集合中是没意义的。

综上，follow(T)={+，#，）}

• follow(T^’)：T^’只在下面两个式子的右边出现。

  T--------> FT^’

  T^’----------> *F T^’ | ε

  与求follow(T)一样，只要follow(T)会求，这个也必会，不赘述。

  follow(T^’) = {+，），#}

• follow(F)：F只在下面这个式子的右边出现。

​ T--------> FT^’

​ F的右边有东西，是T^’, 由 T^’----------> *F T^’ | ε我们可以知道，T^’能推出空和非空。

当T^’ 推出非空时，将first(T^’)加入

​ 当T^’ 推出空时，将follow(左)加入，即将follow(T)加入。

与求follow(T)一样，只要follow(T)会求，这个也必会，不赘述。

follow(T^’) = {+，），#}

• follow(F)：F只在下面这个式子的右边出现。

​ T--------> FT^’

​ F的右边有东西，是T^’, 由 T^’----------> *F T^’ | ε我们可以知道，T^’能推出空和非空。

当T^’ 推出非空时，将first(T^’)加入

​ 当T^’ 推出空时，将follow(左)加入，即将follow(T)加入。