证明:(a+b)|(ab)=＞gcd(a,b)＞1

在做到一道题时碰到了需要从$(a+b)|(ab)$推出$gcd(a,b)>1$的这个性质

考虑简单证明一下这个:

在证明这个性质之前,我们需要知道另外一个很重要的性质:$$gcd(k,a)=1\&\&gcd(k,b)=1=>gcd(k,ab)=1$$
先来简单证明一下上述性质:
首先当$k=1$时上述性质显然成立.所以下面讨论默认$k!=1$
考虑使用反证法来证明,假设$gcd(k,ab)=d$,那么我们有$d|k,d|ab$.显然假如我们的$d|a或d|b$的话,我们的$gcd(k,a)$和$gcd(k,b)$就有一个等于$d$了,此时与条件矛盾,所以我们的$d$必须被$a,b$各自不同的因子相乘整除.也就是假设$pa$为$a$的因子,$pb$为$b$的因子,此时$d|(pa\ast pb)$.但是此时也意味着d中必含有$a,b$中的因子.因为整除意味着d的所有因子被pa,pb覆盖.又因为d的因子也被k覆盖,所以此时k与a,b必然也有公因子.与条件矛盾,所以此时$gcd(k,ab)=1$

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然后我们考虑证明一开始的式子:
依旧考虑使用反证法来证明:
假设$gcd(a,b)=1$,那么显然我们有$gcd(a+b,b)=1,gcd(a+b,a)=1$(类似更相损减术).
那么此时我们就有$gcd(a+b,ab)=1$,那么我们此时发现显然$a+b$无法被$ab$整除,因为如果整除的话,此时的公因子就是$a+b$了,而不是1.

至此证毕