62. 不同路径

题目链接：力扣

 解法一：动态规划

1. 定义状态：对于m*n的网络，从最后一行到右下角，以及从最后一列到右下角，都只有一条不同路径：一直向右或一直向下，所以可以定义状态：dp[i][j]，表示从 (i,j) 到右下角的不同路径数量
2. 初始状态和边界情况：
   1. 根据状态的定义，最后一行以及最后一列达到右下角的路径都只有一种，所以，初始状态为：
      1. dp[m-1][i] = 1
      2. dp[i][n-1] = 1
3. 确定状态转移：现在最后一行和最后一列的状态已经确定，其他的状态转移如下：
   1. 根据状态的定义，从 (i,j) 到达右下角，有两种方案：
      1. 往下走，到达(i+1，j)，这时dp[i][j] = dp[i+1][j]
      2. 往右走，到达(i，j+1)，这时 dp[i][j] = dp[i][j+1]
   2. 所以除以最下面一行，以及最右边一列的其他状态转移方程为：dp[i][j] = dp[i+1][j]+dp[i][j+1]

AC代码：

class Solution {
    public static int uniquePaths(int m, int n) {

        int[][] dp = new int[m][n];

        //赋初始值
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[m - 1][i] = 1;
        }
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][n - 1] = 1;
        }

        //状态转移
        for (int i = m - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = n - 2; j >= 0; j--) {
                dp[i][j]=dp[i+1][j]+dp[i][j+1];
            }
        }

        return dp[0][0];
    }
}

方法二：排列组合，因为从左上角到右下角，一共会向下走m-1步，向右走n-1步。总共需要移动m+n-2步，所以路径总数，就是从这m+n-2步中选择m-1次向下走的方案，最终只需要求下面的公式值即可：

 

分子一共有m+n-2-n+1=m-1项，分母一共有m-1项，所以可以在一个for循环内通过连乘计算

AC代码：

class Solution {
    public static int uniquePaths(int m, int n) {
        long result = 1;
        for (int x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) {
            result = result * x / y;
        }
        return (int) result;
    }
}