基于OpenMP的质数并发求解方法研究

《并行程序设计》的结课论文

基于OpenMP的质数并发求解方法研究

摘要

如何快速地获得素数表以解决素数相关的复杂问题，具有重要的研究意义。给定范围内求解质数的串行算法主要有以下三种：枚举、埃氏筛、欧拉筛。本文研究给定范围内质数求解的并发性算法，基于OpenMP将枚举、埃氏筛两种串行算法并行化，并通过加速比等指标评估两种算法在不同并行方式、任务分配方式中的改进程度。

关键词

OpenMP;并行算法;筛选法

1.前言

1.1研究背景和意义

质数（Prime Number）,也称素数，指一个大于1的自然数p，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，即不能被写成p=ab (a,b>1)的形式。质数的个数无穷。
古往今来，许多数学家和科学家致力于研究质数的相关性质和应用，提出了许多卓尔不凡的见解，但仍有许多世界难题，如哥德巴赫猜想和孪生素数猜想等。
第三次工业革命后，计算机逐渐普及，成为科学研究的重要提效工具，计算机以其极高的算力对科研的发展产生了颠覆性的影响，算法领域的发展推动了一系列数学和工程问题的解决，但时至今日，计算机科学领域仍有相当多悬而未决的难题，即非确定性多项式类问题(Non-deterministic Polynomially，NP)。对极大整数的因式分解是NP问题之一。
质数具有非常巨大的实用价值，如密码学中经典的非对称加密算法RSA算法，对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性；在齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度，减少故障；在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明等等。
如何快速地在计算机中获得素数表以解决素数相关的复杂问题，具有重要的研究意义。

1.2研究问题和研究方法

在给定范围内求解质数的串行算法主要有以下三种：枚举、埃氏筛、欧拉筛（也称线性筛）。针对极大整数的判断可通过素性检测，常见素性检测算法有费马素性检验（Fermat primality test），米勒拉宾测试（Miller–Rabin primality test）等，但素性测试是概率测试，不能给出100%正确结果。[1]
本文研究的问题是给定范围内质数求解的并发性算法，基于OpenMP将枚举、埃氏筛两种串行算法并行化，并通过加速比等指标评估算法的改进程度。

2.枚举法

2.1设计思想

判断正整数x是否为素数，只需判断x%i=0(i∈[2,x-1])是否成立，若x对任意i都不能整除，则x是素数。
若x%k=0(k∈[2,√x])，则必然存在s∈[√x,n-1]使得 x%s=0，也就是说，当x有一个小于√x的因数，则必然有一个大于等于√x的因数与之相乘乘积为x。基于这个思想，可以改进最朴素的枚举法，减少枚举次数，改进后的枚举法的for循环最多只需判断[2,√x]次，算法时间复杂度为O(n*√n).
在串行的枚举法基础上修改得到并行枚举算法，将n次判断分配给thread_count个线程并行处理，在修改prime2数组时需进行临界区保护。
随着x的增大，isPrime函数的负载增加，将任务按照顺序分块给不同线程有悖负载均衡的原则，故采用不同的分配方式分配并行任务给线程：默认分配方式、静态（static）循环分配方式、动态（dynamic）循环分配方式、动态（guided）循环分配方式。运行代码，分析加速比。

2.2运行结果

线程数=4

分配方式	默认分配	static（size=5)	dynamic(size=5)	guided（size=5)
串行时间(ms)	10188	10046	9999	10198
并行时间(ms)	3584	2742	2612	2700
加速比	2.84	3.66	3.83	3.78

线程数=8

分配方式	默认分配	static（size=5)	dynamic(size=5)	guided（size=5)
串行时间(ms)	10022	10060	10100	9918
并行时间(ms)	2147	1878	1823	1868
加速比	4.67	5.36	5.54	5.31

2.3结果分析

并行程序相对串行程序有显著的速度提升，4线程并行程序在dynamic分配方式下加速比更是达到了3.83，接近于最高加速比4。
观察结果发现，默认分配方式加速比显著低于循环分配方式，可见负载均衡对提升并行程序加速比有显著作用，但动态循环分配方式相较静态循环分配方式提升不多，guided动态循环分配方式加速比甚至低于dynamic动态循环分配方式，可见动态循环分配方式给算法增加了额外开销，且其效率的增加无法抵消运算分配这一额外开销的副作用。
由结果分析得出，dynamic动态循环分配方式权衡了效率的增加与运算分配任务的开销，是目前加速比最高的算法。

2.4程序源码

见7.1.1枚举法并行化源码

3.埃氏筛算法

3.1设计思想

埃拉托斯特尼算法，公元前250年由希腊数学家埃拉托斯特尼提出，简称埃氏筛，其基本思想是：求解给定范围0到正整数n内的全部质数，将不大于√n的所有质数的倍数筛去，剩下的即为所得结果。[2]
算法步骤如下：

1. 将[2,n-1]全部标记为质数

2. 取出第一个质数p

3. 将质数p在n内的倍数全部标记为非质数

4. 根据标记信息，取下一个质数p，判断p^2是否大于n，若是，算法结束，若不是，返回③

我们还可以继续改进这一算法，将质数在n内的倍数全部标记为非质数时，由于部分倍数已经被更小的质数在之前标记过，因此筛选的起点设为p^2,步长为2p。埃式筛的算法时间复杂度为O(n*log⁡(logn))).
由于埃式筛的时间复杂度较低，用与枚举法相同的数据量1e7已无法准确评估算法效率的提升，因此增大N至1e8运行。
将串行算法并行化，由于质数的取数具有循环依赖，因此外层循环无法并行，但内层目的为标记合数的循环没有循环依赖，可以并行。运行代码，分析加速比。

3.2运行结果

N=1e7

线程数	4	6	8
串行时间(ms)	52	41	55
并行时间(ms)	49	48	70
加速比	1.06	0.85	0.79

N=1e8

线程数	4	6	8
串行时间(ms)	1275	1189	1205
并行时间(ms)	733	831	841
加速比	1.74	1.43	1.43

3.3结果分析

由运行结果可见，N=1e8时多线程时加速比较高，但线程增加时加速比反而降低；N=1e7时六线程、八线程并行反而比串行运行速度更慢，考虑原因为计算量较小时，线程增加导致并行创建线程、合并线程的开销增大，这一副作用带来的时间花费远高于并行带来的效率增加，导致程序性能没有提升反而下降。可见仅当计算量高时，考虑并行程序有其实际意义。

3.4程序源码

见7.1.2埃式筛并行化源码

4.欧拉筛算法

4.1设计思想

埃式筛的算法时间复杂度在n较大时已经非常接近O(n)，但欧拉筛更进一步，拥有线性的时间复杂度，即O(n)，而且编码较为简单，应用十分广泛。
假设要筛出n以内的素数，算法步骤如下：

1. 将[2,n-1]全部标记为质数
2. 取出第一个质数p
3. 将p加入素数表，cnt++
4. 枚举已经筛出的素数prime[j] ,j∈[0,cnt)，标记p * prime[j]为合数，当p为prime[j]的倍数时退出循环。
5. 取出下一个素数p，若p>=n，结束算法；若不是，返回③

由于质数的取数具有循环依赖，因此外层循环无法并行；而内层由于欧拉筛有退出循环的break机制，因此无法将之for循环并行化。

4.2运行结果

N=1e8, serial time=883ms

4.3结果分析

相较于埃式筛，欧拉筛更加高效，时间复杂度达到了完全的O(n)，效率已经得到了明显提升。由于其高效性，并行化具有较小的改进意义。

4.4程序源码

见7.1.3欧拉筛源码

5.结论

枚举法的算法时间复杂度为O(n*√n)，埃式筛的算法时间复杂度为O(n*log⁡(logn)))，欧拉筛的算法时间复杂度为O(n)。其中，欧拉筛因为时间复杂度较低，并行化带来的收益不明显，串行程序便可很好地完成筛选素数的工作；枚举法通过并行化与负载均衡改进，效率可得到明显改善，当八线程时，加速比可达到5.5；埃式筛在计算量较高时，通过并行化可提升算法效率，四线程加速比可达1.74。

6.参考文献

[1]质数[EB/OL]．（2012-12-19）[2023-07-20].https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%A8%E6%95%B0/263515

[2]moqikaiv.埃拉托斯特尼筛法[EB/OL]．（2017-06-23）[2023-07-20].https://blog.csdn.net/moqikaiv/article/details/73614397

7.附录：

7.1程序源码

7.1.1枚举法并行化源码

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