SM国密算法（三）-- SM2算法

一、简介

SM2非对称加密算法。由国家密码管理局于2010年12月17日发布。基于椭圆曲线密码的公钥密码算法标准，其密钥长度256bit，包含数字签名、密钥交换和公钥加密，用于替换RSA/DH/ECDSA/ECDH等国际算法。

SM2采用的是ECC 256位的一种，其安全强度比RSA 2048位高，且运算速度快于RSA。随着密码技术和计算技术的发展，目前常用的1024位RSA算法面临严重的安全威胁，我们国家密码管理部门经过研究，决定采用SM2椭圆曲线算法替换RSA算法。SM2算法在安全性、性能上都具有优势。

二、数学公式

获取公私钥：

椭圆曲线方程：

y^2 = x^3 + ax + b mod p

1. 确认a、b、p，确认曲线。
2. 选择一个点 $P(x_g,y_g)$为 基 点 。
3. 对曲线做切线、x对称点运行。次数为d,运算倍点为Q
4. d为私钥,Q为公钥

密钥对的生成：

1. 产生随机整数$d[1,n-2]$
2. G为基点，计算点 $P=(xP,yP)=[d]G$;
3. 密钥对为: $(d,P)$ 其中，d为私钥，P为公钥

一个很典型的例子：

a = 0xFFFFFFFEFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF00000000FFFFFFFFFFFFFFFC
b = 0x28E9FA9E9D9F5E344D5A9E4BCF6509A7F39789F515AB8F92DDBCBD414D940E93
p = 0xFFFFFFFEFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF00000000FFFFFFFFFFFFFFFF
x_g = 0x32c4ae2c1f1981195f9904466a39c9948fe30bbff2660be1715a4589334c74c7
y_g = 0xbc3736a2f4f6779c59bdcee36b692153d0a9877cc62a474002df32e52139f0a0
n = 0xFFFFFFFEFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF7203DF6B21C6052B53BBF40939D54123

SM签名

M为待签名消息，数字签名结果为 $(r,s)$ ，用户密钥对 $(d,P)$。

实现步骤：

1. $e=hash(M)$ => 获取消息散列值
2. 产生随机数k => 以便即使是同一个消息，每次签名出来的结果不同。
3. 使用随机数，计算椭圆曲线点 $(x_1,y_1)=[k]G$
4. $r=(e+x1)modn$ => 判断： $r=0$ 或者 $r+k=n$, 继续第2步。
5. $s=((1+d{)}^{-1}\ast (k-r\ast d))modn$, 若 s = 0，继续第2步
6. r,s 为签名信息。

SM验签

M为明文， $(r,s)$ 为签名结果,用户公钥P

实现步骤：

1. $e=hash(M)$
2. $t=(r+s)modn$
3. $(x,y)=[s]G+[t]P$
4. $R=(e+x)modn$
5. 计算R是否等于r

$[s]G+[t]P$ 的结果可以推导出等于 $[k]G$

验证原理

[s]G + [t]P = sG + (r + s)P
			= sG + (r + s)dG 
			= sG + sdG + rdG 
			= (1 + d)sG + rdG
			= (1 + d)(1 + d)^{-1} * (k − rd)G + rdG 
			= (k − rd)G + rdG
			= kG − rdG + rdG
			= kG = (x1, y1)

SM加密

M为明文字符串

1. 获取随机数k
2. (x1,y1) = [k]G
3. S = [h]P => h 为余因子
4. $C1=(x2,y2)=[k]P$
5. $t=KDF(x2||y2,klen)$ => klen为M的长度。KDF是sm2的密钥派生函数
6. $C2=M+t$
7. $C3=Hash(x2\Vert M\Vert y2)$
8. $C=C1\Vert C2\Vert C3$

SM解密

C为密文字符串,klen为密文中C2的长度

1. $C1=C$ 里面获取，验证C1是否满足椭圆曲线。 ⇒ C2长度确定，可以获取C1内容。
2. $S=[h]C1$， S为无穷点，退出。
3. $(x2,y2)=[d]C1$
4. $t=KDF(m2||y2,klen)$
5. $M^{}=C2+t$
6. $u=Hash(x2||M^{}||y2),u?==C3$
7. $M^{}$为明文

加解密中C1,C2,C3

SM2非对称加密的结果由C1,C2,C3三部分组成。
其中C1是生成随机数的计算出的椭圆曲线点，C2是密文数据，C3是SM3的摘要值。
最开始的国密标准的结果是按C1C2C3顺序的，新标准的是按C1C3C2顺序存放的