网格梯度离散化 gradient

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参考自polygon mesh proccessing这本书

重心坐标定理

定理证明点击前往

已经三角形三点上的函数值分别为gi,gj,gk。
可以利用插值得到g处的函数值。

$g=\alpha g_i+\beta g_j+\gamma g_k$
$\alpha +\beta +\gamma =1,$
$\alpha ,\beta ,\gamma >0$

$\alpha =\frac{s_i}{s_i+s_j+s_k}$
$\beta =\frac{s_j}{s_i+s_j+s_k}$
$\gamma =\frac{s_k}{s_i+s_j+s_k}$

$s_i是g_i对面与g组成的小三角形，s_j,s_k类似$

函数定义

利用上述原理，x处的函数值
$f(x)=\alpha f_i+\beta f_j+\gamma f_k$

梯度定义

$梯度是对函数进行求导，f_i,f_j,f_k是已知量，只要对\alpha ,\beta ,\gamma 求导即可。$

${\nabla }_{x}f(x)=f_i{\nabla }_x\alpha +f_j{\nabla }_x\beta +f_k{\nabla }_x\gamma$

梯度求解

利用三角形面积底高公式

$以\alpha 为例，对于A_i面积，底是\Vert x_k-x_j{\Vert }_2,高是向量(x-x_j)在(x_k-x_j)垂直方向上的投影$

$\alpha =\frac{A_i}{A_T}=\frac{\left((x-x_j)\cdot \frac{(x_k-x_j{)}^{\perp }}{\Vert x_k-x_j{\Vert }_2}\right)\cdot \Vert x_k-x_j{\Vert }_2}{2A_T}$
$=\frac{(x-x_j)\cdot (x_k-x_j{)}^{\perp }}{2A_T}$

上式中变量只有x, 求导如下

${\nabla }_x\alpha =\frac{(x_k-x_j{)}^{\perp }}{2A_T}$
${\nabla }_x\beta =\frac{(x_i-x_k{)}^{\perp }}{2A_T}$
${\nabla }_x\gamma =\frac{(x_j-x_i{)}^{\perp }}{2A_T}$

致此，梯度已经得到

$${\nabla }_{x}f(x)=f_i\frac{(x_k-x_j{)}^{\perp }}{2A_T}+f_j\frac{(x_i-x_k{)}^{\perp }}{2A_T}+f_k\frac{(x_j-x_i{)}^{\perp }}{2A_T}$$

公式化简

三角形三条边为向量走一遍最后回到起点，可以得到

$(x_k-x_j)+(x_i-x_k)+(x_j-x_i)=0$

把所有向量转90度再相加，结果不变。

$(x_k-x_j{)}^{\perp }+(x_i-x_k{)}^{\perp }+(x_j-x_i{)}^{\perp }=0$

将梯度公式中xk-xj替换得到

$${\nabla }_{x}f(x)=(f_j-f_i)\frac{(x_i-x_k{)}^{\perp }}{2A_T}+(f_k-f_i)\frac{(x_j-x_i{)}^{\perp }}{2A_T}$$

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本人码农，希望通过自己的分享，让大家更容易学懂计算机知识。