【Atcoder】 [ARC158D] Equation

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Atcoder方向
Luogu方向

题目解法

考虑等式两边都为多次齐次项
令等式左边的值为 $F(x,y,z)$，等式右边的值为 $G(x,y,z)$
当 $F(x,y,z)\equiv t\ast G(x,y,z)(modp)$
因为等式左边比等式右边高一次
所以 $F(\frac{x}{t},\frac{y}{t},\frac{z}{t})\equiv G(\frac{x}{t},\frac{y}{t},\frac{z}{t})(modp)$

由式子可以 $t=F(x,y,z)\ast G(x,y,z{)}^{-1}$
因为 $t\ne 0$，所以 $F(x,y,z)$ 与 $G(x,y,z)$ 不等于 $0$，就一定有一组解

考虑没有解的情况出现概率较小（$<\frac{1}{4}$），所以考虑随机 $x,y,z$ 的值，直到找到一组合法的解

#include 
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
	int FF=0,RR=1;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
	return FF*RR;
}
int qmi(int a,int b,int p){
	int res=1;
	for(;b;b>>=1){
		if(b&1) res=res*a%p;
		a=a*a%p;
	}
	return res;
}
void work(){
	int n=read(),p=read();
	while(true){
		int x=rand()%(p-1)+1,y=rand()%(p-1)+1,z=rand()%(p-1)+1;
		if(x==y||x==z||y==z) continue;
		int xn=qmi(x,n,p),yn=qmi(y,n,p),zn=qmi(z,n,p);
		int mi0=(x+y+z)%p,mi1=(xn+yn+zn)%p,mi2=(xn*xn%p+yn*yn%p+zn*zn%p)%p;
		int Left=mi0*mi1%p*mi2%p,Right=(xn*xn%p*xn%p+yn*yn%p*yn%p+zn*zn%p*zn%p)%p;
//		cout<
		if(!Right||!Left) continue;
		int t=Right*qmi(Left,p-2,p)%p;
		x=x*t%p,y=y*t%p,z=z*t%p;
//		cout<
		if(x>y) swap(x,y);
		if(x>z) swap(x,z);
		if(y>z) swap(y,z);
		printf("%lld %lld %lld\n",x,y,z);
		return;
	}
} 
signed main(){
	srand(time(NULL));
	int T=read();
	while(T--) work();
	return 0;
}