线性代数——行列式

系列文章目录

• 线性代数——行列式
• 线性代数——矩阵
• 线性代数——向量
• 线性代数——线性方程组
• 线性代数——特征值和特征向量
• 线性代数——二次型

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版权声明

本文大部分内容皆来自李永乐老师考研教材和视频课。

补充知识

求和公式的性质

• $$\sum _{i=1}^{n}k{a}_i=k\sum _{i=1}^n{a}_i$$
• $$\sum _{i=1}^n(a_i+b_i)=\sum _{i=1}^n{a}_i+\sum _{i=1}^n{b}_i$$
• $$\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{a}_{ij}$$

常用希腊字符读音

• $\alpha$：/ælfə/
• $\beta$：/betə/
• $\Gamma$、$\gamma$：/gama/
• $\Delta$、$\delta$：/deltə/
• $\epsilon$：/epsilon/
• $\upsilon$：/apsilon/
• $\theta$：/θitə/
• $\pi$：/paɪ/
• $\eta$：/ita/
• $\Lambda$、$\lambda$：/læmdə/
• $\mu$：/mju/
• $\xi$：/ksi/
• $\Sigma$、$\sigma$：/sigmə/
• $\tau$：/taʊ/
• $\Phi$、$\phi$：/faɪ/
• $\psi$：/psi/
• $\Omega$、$\omega$：/omiga/
• $\rho$：/ru:/

排列

由$1,2,\dots ,n$组成的有序数组称为一个$n$阶排列，通常使用$j_1{j}_2\dots j_n$表示$n$阶排列。例如：
$$j_1{j}_2{j}_3{j}_4=9527$$
在排列中，如果一个大的数排在了一个小的数前面，就称这两个数构成了一个逆序。一个排列逆序的总数称为这个排列的逆序数。通常用$\tau (j_1{j}_2\dots j_n)$表示排列$j_1{j}_2\dots j_n$的逆序数。例如：
$$\tau (9527)=4$$

• 如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列是偶排列。
• 如果一个排列的逆序数是奇数，则称这个排列是奇排列。

对换是指交换排列中任意两个元素的位置。

• 如果对一个排列进行奇数次对换那么将改变排列的奇偶性。
• 如果对一个排列进行偶数次对换那么将不会改变排列的奇偶性。

一个$n$阶排列经过对换可以得到$n!$个不同的排列，并且在这$n!$个不同的排列中，奇偶排列各占一半。

行列式

行列式的定义：行列式是不同行不同列$n$个元素乘积的代数和：

D = ∣ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ = ∑ j 1 j 2 … j n ( − 1 ) τ ( j 1 j 2 … j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 … a n j n D=\begin{vmatrix}a_{11} &a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21} &a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{j_1j_2\ldots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\ldots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\dots a_{nj_n} D= ​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​………​a1n​a2n​⋮ann​​​ ​=j1​j2​…jn​∑​(−1)τ(j1​j2​…jn​)a1j1​​a2j2​​…anjn​​
这个式子称为$n$阶行列式的完全展开式，共有$n!$项。对于二阶三阶行列式有对角线法则：

• 2阶行列式： ∣ a b c d ∣ = a d − b c \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc ​ac​bd​ ​=ad−bc
• 3阶行列式：
  ∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ = a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 − a 3 b 2 c 1 − a 2 b 1 c 3 − a 1 b 3 c 2 \begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2 ​a1​b1​c1​​a2​b2​c2​​a3​b3​c3​​ ​=a1​b2​c3​+a2​b3​c1​+a3​b1​c2​−a3​b2​c1​−a2​b1​c3​−a1​b3​c2​

余子式和代数余子式：将行列式的第$i$行和第$j$列去掉，那么剩下的行列式就是$a_{ij}$的余子式，记为$$M_{ij}$$并记$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$为$a_{ij}$的代数余子式。

行列式的性质

• 某行有公因式$k$，可把公因式$k$提到行列式外:
  ∣ … … … … k a i 1 k a i 2 … k a i n … … … … ∣ = k ∣ … … … … a i 1 a i 2 … a i n … … … … ∣ \begin{vmatrix} \dots&\dots&\dots&\dots\\ ka_{i1}&ka_{i2}&\dots&ka_{in}&\\ \dots&\dots&\dots&\dots \end{vmatrix} = k\begin{vmatrix} \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{i1}&a_{i2}&\dots&a_{in}&\\ \dots&\dots&\dots&\dots \end{vmatrix} ​…kai1​…​…kai2​…​………​…kain​…​​ ​=k ​…ai1​…​…ai2​…​………​…ain​…​​ ​
  特别的：某行元素全为零，则行列式为$0$。
• 对换行列式某两行的位置，行列式变号。特别的：
  • 两行相等，行列式为$0$，即$D=-D,D=0$
  • 两行成比例，行列式为$0$，即$kD=-kD,D=0$
• 某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和： ∣ a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 c 1 c 2 c 3 d 1 d 2 d 3 ∣ = ∣ a 1 a 2 a 3 c 1 c 2 c 3 d 1 d 2 d 3 ∣ + ∣ b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 d 1 d 2 d 3 ∣ \begin{vmatrix}a_1+b_1&a_2+b_2&a_3+b_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3\end{vmatrix} ​a1​+b1​c1​d1​​a2​+b2​c2​d2​​a3​+b3​c3​d3​​ ​= ​a1​c1​d1​​a2​c2​d2​​a3​c3​d3​​ ​+ ​b1​c1​d1​​b2​c2​d2​​b3​c3​d3​​ ​
• 行列式某行的$k$倍加至另一行，行列式不变：
  ∣ a 1 + k b 1 a 2 + k b 2 a 3 + k b 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ = ∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ + k ∣ b 1 b 2 b 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ = ∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ \begin{vmatrix} a_1+kb_1&a_2+kb_2&a_3+kb_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3 \end{vmatrix} {+}k \begin{vmatrix} b_1&b_2&b_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3 \end{vmatrix} ​a1​+kb1​b1​c1​​a2​+kb2​b2​c2​​a3​+kb3​b3​c3​​ ​= ​a1​b1​c1​​a2​b2​c2​​a3​b3​c3​​ ​+k ​b1​b1​c1​​b2​b2​c2​​b3​b3​c3​​ ​= ​a1​b1​c1​​a2​b2​c2​​a3​b3​c3​​ ​
• 按行按列展开式：
  • 按$i$行展开：$$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\dots +a_{in}{A}_{in}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$$
  • 按$j$列展开：$$D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\dots +a_{nj}{A}_{nj}=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$$
• 某一行（列）的所有元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于$0$：
  $$a_{11}{A}_{31}+a_{12}{A}_{32}+a_{13}{A}_{33}=0$$
  证明：已知
  D = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ D= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} D= ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​ ​
  构造以下行列式：
  F = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 ∣ = 0 = a 11 A 31 + a 12 A 32 + a 13 A 33 F= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{11}&a_{12}&a_{13} \end{vmatrix} =0 =a_{11}A_{31}+a_{12}A_{32}+a_{13}A_{33} F= ​a11​a21​a11​​a12​a22​a12​​a13​a23​a13​​ ​=0=a11​A31​+a12​A32​+a13​A33​
  因为$F$的$A_{31}$，$A_{32}$，$A_{33}$和$D$的相等，所以：
  $$a_{11}{A}_{31}+a_{12}{A}_{32}+a_{13}{A}_{33}=0$$

重要公式

• 上（下）三角行列式的值： ∣ a 11 a 12 … a 1 n 0 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … a n n ∣ = ∣ a 11 0 … 0 a 21 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ = a 11 a 22 … a n n \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots& a_{1n}\\0&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\ldots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&0&\ldots& 0\\a_{21}&a_{22}&\ldots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\dots a_{nn} ​a11​0⋮0​a12​a22​⋮0​………​a1n​a2n​⋮ann​​ ​= ​a11​a21​⋮an1​​0a22​⋮an2​​………​00⋮ann​​ ​=a11​a22​…ann​
• 副对角线行列式的值： ∣ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 0 … 0 ∣ = ∣ 0 … 0 a 1 n 0 … a 2 ( n − 1 ) a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 … a n ( n − 1 ) a n n ∣ = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 a 1 n a 2 ( n − 1 ) … a n 1 \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots& a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&0&\ldots&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&\dots&0& a_{1n}\\0&\dots&a_{2(n-1)}&a_{2n}\\\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{n1}&\dots&a_{n(n-1)}&a_{nn}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2(n-1)}\dots a_{n1} ​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮0​………​a1n​0⋮0​ ​= ​00⋮an1​​………​0a2(n−1)​⋮an(n−1)​​a1n​a2n​⋮ann​​ ​=(−1)2n(n−1)​a1n​a2(n−1)​…an1​
• 范德蒙行列式：
  ∣ 1 1 … 1 a 1 a 2 … a n a 1 2 a 2 2 … a n 2 ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n − 1 a 2 n − 1 … a n n − 1 ∣ = ∏ 1 ≤ j < i ≤ n ( a i − a j ) \begin{vmatrix} 1&1&\dots&1\\ a_1&a_2&\dots&a_n\\ a_1^2&a_2^2&\dots&a_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\dots&a_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1≤j ​1a1​a12​⋮a1n−1​​1a2​a22​⋮a2n−1​​…………​1an​an2​⋮ann−1​​ ​=1≤j<i≤n∏​(ai​−aj​)
  证明：假设$n-1$时，$D_{n-1}={\prod }_{1\le j<i\le n-1}(a_i-a_j)$成立，对于$n$阶行列式$D_n$，将上一行的的$-a_1$倍加到下一行，由$n-1$行开始，得
  ∣ 1 1 … 1 0 a 2 − a 1 … a n − a 1 0 a 2 2 − a 1 a 2 … a n 2 − a 1 a n ⋮ ⋮ ⋮ 0 a 2 n − 1 − a 1 a 2 n − 2 … a n n − 1 − a n a n n − 2 ∣   = ∣ a 2 − a 1 a 3 − a 1 … a n − a 1 a 2 ( a 2 − a 1 ) a 3 ( a 3 − a 1 ) … a n ( a n − a 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ a 2 n − 1 ( a 2 − a 1 ) a 3 n − 1 ( a 3 − a 1 ) … a n n − 1 ( a n − a 1 ) ∣   = ( a 2 − a 1 ) ( a 3 − a 1 ) … ( a n − a 1 ) ∣ 1 1 … 1 a 1 a 2 … a n a 1 2 a 2 2 … a n 2 ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n − 2 a 2 n − 2 … a n n − 2 ∣   = ( a 2 − a 1 ) ( a 3 − a 1 ) … ( a n − a 1 ) ∏ 1 ≤ j < i ≤ n − 1 ( a i − a j )   = ∏ 1 ≤ j < i ≤ n ( a i − a j ) \begin{vmatrix} 1&1&\dots&1\\ 0&a_2-a_1&\dots&a_n-a_1\\ 0&a_2^2-a_1a_2&\dots&a_n^2-a_1a_n\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&a_2^{n-1}-a_1a_2^{n-2}&\dots&a_n^{n-1}-a_na_n^{n-2} \end{vmatrix}\\\ \\= \begin{vmatrix} a_2-a_1&a_3-a_1&\dots&a_n-a_1\\ a_2(a_2-a_1)&a_3(a_3-a_1)&\dots&a_n(a_n-a_1)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_2^{n-1}(a_2-a_1)&a_3^{n-1}(a_3-a_1)&\dots&a_n^{n-1}(a_n-a_1) \end{vmatrix}\\\ \\= (a_2-a_1)(a_3-a_1)\dots(a_n-a_1) \begin{vmatrix} 1&1&\dots&1\\ a_1&a_2&\dots&a_n\\ a_1^2&a_2^2&\dots&a_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_1^{n-2}&a_2^{n-2}&\dots&a_n^{n-2} \end{vmatrix}\\\ \\=(a_2-a_1)(a_3-a_1)\dots(a_n-a_1)\prod_{1≤j ​100⋮0​1a2​−a1​a22​−a1​a2​⋮a2n−1​−a1​a2n−2​​…………​1an​−a1​an2​−a1​an​⋮ann−1​−an​ann−2​​ ​ = ​a2​−a1​a2​(a2​−a1​)⋮a2n−1​(a2​−a1​)​a3​−a1​a3​(a3​−a1​)⋮a3n−1​(a3​−a1​)​………​an​−a1​an​(an​−a1​)⋮ann−1​(an​−a1​)​ ​ =(a2​−a1​)(a3​−a1​)…(an​−a1​) ​1a1​a12​⋮a1n−2​​1a2​a22​⋮a2n−2​​…………​1an​an2​⋮ann−2​​ ​ =(a2​−a1​)(a3​−a1​)…(an​−a1​)1≤j<i≤n−1∏​(ai​−aj​) =1≤j<i≤n∏​(ai​−aj​)
• 拉普拉斯展开式：
  ∣ A m ∗ O B n ∣ = ∣ A m O ∗ B n ∣ = ∣ A m ∣ ∗ ∣ B n ∣ \begin{vmatrix}A_m&*\\O&B_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_m&O\\*&B_n\end{vmatrix}=|A_m|*|B_n| ​Am​O​∗Bn​​ ​= ​Am​∗​OBn​​ ​=∣Am​∣∗∣Bn​∣ ∣ O A m B n ∗ ∣ = ∣ ∗ A m B n O ∣ = ( − 1 ) n m ∣ A m ∣ ∗ ∣ B n ∣ \begin{vmatrix}O&A_m\\B_n&*\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}*&A_m\\B_n&O\end{vmatrix}=(-1)^{nm}|A_m|*|B_n| ​OBn​​Am​∗​ ​= ​∗Bn​​Am​O​ ​=(−1)nm∣Am​∣∗∣Bn​∣
• 特征多项式：设$A=(a_{ij})$是$3$阶矩阵，则$A$的特征多项式 ∣ λ E − A ∣ = λ 3 − ( a 11 + a 22 + a 33 ) λ 2 + s 2 λ − ∣ A ∣ \begin{vmatrix}\lambda E-A \end{vmatrix}=\lambda^{3}-(a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda^2+s_2\lambda-|A| ​λE−A​ ​=λ3−(a11​+a22​+a33​)λ2+s2​λ−∣A∣其中 s 2 = ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ + ∣ a 11 a 13 a 31 a 33 ∣ + ∣ a 11 a 22 a 32 a 33 ∣ s_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{22}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} s2​= ​a11​a21​​a12​a22​​ ​+ ​a11​a31​​a13​a33​​ ​+ ​a11​a32​​a22​a33​​ ​

克拉默法则

若$n$个未知数、$n$个方程的线性方程组：$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \dots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$的系数行列式： D = ∣ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ ≠ 0 D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}≠0 D= ​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​………​a1n​a2n​⋮ann​​ ​=0则方程组有唯一解：$$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\dots ,x_n=\frac{D_n}{D}$$其中 D j = ∑ i = 1 n b i A i j = ∣ a 11 … a 1 , j − 1 b 1 a 1 , j + 1 … a 1 n a 21 … a 2 , j − 1 b 2 a 2 , j + 1 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 … a n , j − 1 b 1 a n , j + 1 … a n n ∣ ( j = 1 , 2 , … , n ) D_j=\sum_{i=1}^nb_iA_{ij}=\begin{vmatrix}a_{11}&\dots&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&\dots&a_{2,j-1}&b_2&a_{2,j+1}&\dots&a_{2n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\dots&a_{n,j-1}&b_1&a_{n,j+1}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}(j=1,2,\dots,n) Dj​=i=1∑n​bi​Aij​= ​a11​a21​⋮an1​​………​a1,j−1​a2,j−1​⋮an,j−1​​b1​b2​⋮b1​​a1,j+1​a2,j+1​⋮an,j+1​​………​a1n​a2n​⋮ann​​ ​(j=1,2,…,n)
若齐次方程组：$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ \dots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=0\end{array}$$的系数行列式$D\ne 0$，则方程组只有零解。若有非零解，则系数行列式$D=0$。