【图论】Dijkstra算法（基础版）

一.简介

Dijkstra算法(迪杰斯特拉算法) 用来计算从一个点到其他所有点的最短路径算法，是一种单源最短路径算法。

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二.简要步骤

1. 初始化距离数组和已访问数组。将起始节点的距离设为0，其他节点的距离设为无穷大。
2. 选择距离数组中未访问节点中距离最小的节点，将其标记为已访问。
3. 遍历该节点的所有邻居节点，更新它们的距离。如果通过当前节点到达邻居节点的路径比已知的最短路径更短，则更新距离数组中的值。
4. 重复步骤2和步骤3，直到所有节点都被访问过或者没有可达节点。

最终，距离数组中记录的就是起始节点到其他所有节点的最短路径长度。如果需要找到具体的最短路径，可以在算法执行过程中维护一个前驱节点数组，记录每个节点的前驱节点，从而可以回溯得到最短路径。

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三.时间复杂度

Dijkstra算法的时间复杂度取决于图的规模，通常为O(V^2)，其中V是节点的数量。

然而，通过使用优先队列等数据结构，可以将时间复杂度优化到O((V+E)logV)，其中E是边的数量。（下篇文章介绍）

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四.详解Dijkstra基础版

步骤一：

初始化，所有点之间的距离都无穷大。然后根据题目条件更新数据。详细见后面的代码注释。

步骤二：

贪心策略，找出距离起点最小的点，利用它进行搭桥，然后标记，下次就不用了。

​
int pos=0,minn=0x7fffffff;
//贪心，找出距离起点最近点，搭桥 
for(int j=1;j<=n;j++){
	if(dis[j]

步骤三：

进行搭桥，如果效果好，就更新数据。

​
for(int j=1;j<=n;j++){
	if(dis[pos]+g[pos][j]

步骤四：

把步骤二和步骤三循环n-1次即可。也就是vis完所有数据，dis全为最小值。

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五.题目

题目描述：

输出起点到各个点的最短路径

输入说明：

第一行输入三个数，分别表示点的个数，边的个数，起点

第二行输入m行数据，一行中有三个数字，分别表示从u点到v点的距离为w；

输出说明：

输出起点到各个点的最短路径

输入样例：

5 7 1
1 2 2
1 3 4
1 4 7
2 3 1
2 5 2
3 4 1
3 5 6

输出样例：

0 2 3 4 4

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六.【AC】代码 

/*
5 7 1
1 2 2
1 3 4
1 4 7
2 3 1
2 5 2
3 4 1
3 5 6
*/

//Dijkstra
#include
#define maxn 101
using namespace std;
int n,m,s;  //n个点，m条边，s为起点。
int g[maxn][maxn]; //邻接矩阵存边
int dis[maxn]; //起点到i点的距离
bool vis[maxn]; 

void dijkstra(){
	//每个点到起点的距离初始为0x3f3f3f3f,即无限大，表示不可到达
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); 
	dis[s]=0; //起点到起点距离为0
	vis[s]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(i!=s){
			dis[i]=g[s][i]; //同步过来 
		}
	} 
	//因为已经标记起点了，从2开始，每次遍历标记1个点，直到全部标记 
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int pos=0,minn=0x7fffffff;
		//贪心，找出距离起点最近点，搭桥 
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(dis[j]>n>>m>>s;
	//初始化 
	//每条边的距离都初始为0x3f3f3f3f,即无限大，表示不可走
	memset(g,0x3f,sizeof(g));  
	for(int i=1;i<=n;i++) g[i][i]=0;  //每个点到自己的距离都为0
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		g[u][v]=w;
	}
	//算法
	dijkstra();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cout<