递归函数

本文为只字不差打字版原文链接：https://github.com//the-craft-of-selfteaching 作者：李笑来

递归（Recursion）

在函数中有个理解门槛比较高的概念：递归函数（Recursive Function）——那些在自身内部调用自身的函数。说起来都比较拗口。

先看一个例子，我们想要有个能够计算n的阶乘（factorial）n！的函数，f()，规则如下：

n! = n ×（n - 1）×（n - 2）…×1

即，n! = n×(n-1)!

且，n >=1

注意：以上是数学表达，不是程序，所以，，= 在这一段中是“等于”的意思，不是程序语言中的赋值符号.

于是，计算f(n)的Python程序如下：

def f(n):
    if n==1:
        return 1
    else:
        return n*f(n-1)

print(f(5))

120

递归函数的执行过程

以factorial(5)为例，让我们看看程序的流程：

recursive-function-call.png

当f(5)被调用之后，函数开始运行 ……

因为5>1,所以，在计算n*f(n-1)的时候要再次调用自己f(4);所以必须等待f(4)的值返回；
因为4>1,所以，在计算n*f(n-1)的时候要再次调用自己f(3);所以必须等待f(3)的值返回；
因为3>1,所以，在计算n*f(n-1)的时候要再次调用自己f(2);所以必须等待f(2)的值返回；
因为2>1,所以，在计算n*f(n-1)的时候要再次调用自己f(1);所以必须等待f(1)的值返回；
因为1==1，所以，这时候不会再次调用f ()了，于是递归结束，开始返回，这次返回的是1；
下一步返回的是 2 * 1；
下一步返回的是 3 * 2；
下一步返回的是 4 * 6；
下一步返回的是 5 * 24 ——至此，外部调用f(5)的最终返回值是120……

加上一些输出语句之后，便能更清楚地看到大概的执行流程：

def f(n)
    print('\tn=',n)
    if n == 1:
        print('Returning…')
        print('\tn=',n,'return:',1)
        return 1
    else:
        r = n * f(n-1)
        print('\tn=',n,,return:',r)
        return r

print('Call f(5)…')
print(,Get out of f(n),and f(5)=',f(5)

Call f(5)...
n = 5
n = 4
n = 3
n = 2
n = 1
Returning...
n = 1 return: 1
n = 2 return: 2
n = 3 return: 6
n = 4 return: 24
n = 5 return: 120
Get out of f(n), and f(5) = 120

有点烧脑……不过，分为几个层面去逐个突破，你会发现它真的很好玩。

递归的终点

递归函数在内部必须有一个能够让自己停止调用自己的方式，否则永远循环下去了……

其实，我们所有人从小就见过递归应用，只不过，那时候不知道那就是递归而已。听说那个无聊的故事罢？

山上有座庙，庙里有个和尚，和尚讲故事，说……

山上有座庙，庙里有个和尚，和尚讲故事，说……

山上有座庙，庙里有个和尚，和尚讲故事，说……

写成Python程序大概是这样：

def a_monk_telling_story():
    print(' 山上有座庙，庙里有个和尚，和尚讲故事，说……')
    return a_monk_telling_story()

a_monk_telling_story()

这是个无限循环的递归，因为这个函数里没有设置中止自我调用的条件。无限循环还有个不好听的名字，叫做“死循环”。

在著名的电影盗梦空间（2010）里，从整体结构上来看，“入梦”也是个“递归函数”。只不过，这个函数和a_monk_telling_story()不一样，它并不是死循环——因为它设定了中止自我调用的条件：

在电影里，醒过来的条件有两个

一个是在梦里死掉；

一个是在梦里被kicked到……

如果这两个条件一直不被满足，那就进入 limbo 状态——其实就跟死循环一样，出不来了……

为了演示，我把故事情节改变成这样：

入梦，in_dream()，是个递归函数；

入梦之后醒过来的条件有两个：

一个是在梦里死掉，dead is True；

一个是在梦里被kicked，kicked is True……
以上两个条件中任意一个被满足，就苏醒……

至于为什么会死掉，如何被kick，我偷懒了一下：管它怎样，管它如何，反正，每个条件被满足的概率是1/10……（也只有这样，我才能写出一个简短的，能够运行的“盗梦空间程序”。）

把这个很抽象的故事写成Python程序，看看一次入梦之后能睡多少天，大概是这样：

 import random
def in_dream(day=0,dead=Flase,kicked=False):
    dead = not random.randrange(0,10) #1/10 probability to be dead
    kicked = not random.randrange(0,10) #1/10 probability to be kicked
day +=1
print('dead',dead,'kicked:',kicked)

    if dead:
        print((f"I slept {day} days,and was dead to wake up …"))
    return day
    elif kicked:
        print(f"I slept {day} days,and was kicked to wake up …")
        return day
    return in_dream(day)

print('The in_dream() function returns:',in_dream())

dead: False kicked: False
dead: False kicked: False
dead: False kicked: False
dead: False kicked: False
dead: False kicked: False
dead: False kicked: False
dead: False kicked: False
dead: True kicked: True
I slept 8 days, and was dead to wake up...
The in_dream() function returns: 8

如果疑惑为什么random.randrange(0,10)能表示1/10的概率，请返回去重新阅读
第一部分中关于布尔值的内容。

另外，在Python中，若是需要将某个值与 True 或者 False 进行比较，尤其是在条件语句中，推荐写法是（参见 PEP8）：

if codition:
    pass

就好像上面的代码中的 if dead：一样。
而不是（虽然这么写通常也并不妨碍程序正常运行）：

if condition is True:
    pass

抑或：

if condition ==True:
    pass

让我们再返回来接着讲递归函数。正常的递归函数一定有个退出条件。否则的话，就无限循环下去了……下面的程序在执行一会儿之后就会告诉你：RecursiionError:maxinum recursion depth exceeded(上面那个“山上庙里讲故事的和尚说”的程序，真要跑起来，也是这样)：

def x(n):
    return n* x(n-1)
x(5)

RecursionError Traceback (most recent call last)
in
1 def x(n):
2 return n * x(n-1)
----> 3 x(5)

in x(n)
1 def x(n):
----> 2 return n * x(n-1)
3 x(5)

... last 1 frames repeated, from the frame below ...

in x(n)
1 def x(n):
----> 2 return n * x(n-1)
3 x(5)

RecursionError: maximum recursion depth exceeded

不用深究上面雕梦空间这个程序的其他细节，不过，通过以上三个递归程序——两个很扯淡的例子，一个正经例子——你看到了递归函数的共同特征：

1.在return语句中返回的是自身的调用（或者是含有自身的表达式）
2.为了避免死循环，一定要有至少一个条件*下返回的不再是自身调用……

变量的作用域

再回来看计算阶乘的程序——这是正经程序。这次我们把程序名写完整，factorial():

def factorial(n):
    if n==1:
        return 1
    else:
        return n * factorial(n-1)
print(factorial(5))

120

最初的时候，这个函数的执行流程之所以令人着迷，是因为初学者对变量的作用域把握得不够充分。

变量根据作用域，可以分为两种：全局变量（Global Variables）和局部变量（Local Variable）。

可以这样简化理解：

在函数内部被赋值而后使用的，都是局部变量,它们的作用域是全局，无法被函数以外的代码调用；

在所有函数之外被赋值而后开始使用的，是全局变量，它们的作用域是全局，在函数内外都可以被调用。

定义如此，但通常程序员们会严格遵守一条原则：

在函数内部绝对不调用全局变量。即便是必须改变全局变量，也只能通过函数的返回值在函数外改变全局变量。

你也必须遵守同样的原则。而这个原则同样可以在日常工作生活中“调用”：

做事的原则：自己的事自己做，别人的事，最多通过自己的产出让他们自己去搞……

再仔细观察以下代码。当一个变量被当做参数传递给一个函数的时候，这个变量本身并不会被函数所改变。比如，a=5,而后，再把a当做参数传递给f(a)的时候，这个函数方然应该返回它内部任务完成之后应该传递回来的值，但a本身不会被改变。

def factorial(n):
    if n ==1:
        return 1
    else:
        return n*factorial(n-1)
a=5
b=factorial(a) # a并不会因此改变
print(a,b)
a=factorial(a) #这是你主动为a再一次赋值……
print(a,b)

理解了这一点之后，再看factorial()这个递归函数的递归执行过程中，你就能明白这个事实：

我们再修改一下上面的代码：

def factorial(n):
    if n == 1:
        return 1
    else:
        return n*factorial(n-1)

n=5 #这一次，这个变量名称是n
m= factorial(n)
print(n,m)

在m = factorial(n)这一句中，n被当作参数调用了，但无论函数内部如何操作，并不会改变变量n的值
关键的地方在这里：在函数内部出现的变量n，和函数外部的变量n不是一回事——它们只是名称恰好相同而已，函数参数定义的时候，用别的名称也没什么区别

def factorial(x):#在这个语句块中出现的变量，都是局部变量
    if x ==1:
        return 1
    else:
        return x*factorial(x-1)

n=5 #这一次，这个变量名称是n
m = factorial(n) # n并不会因此改变
print(n,m) #这个例子和之前在之前的示例代码有什么区别吗？
#本质上没区别，就是变量名称换了而已……

函数开始执行的时候，x的值，是由外部代码（即，函数被调用的那一句）传递进来的。即便函数内部的变量名称与外部的变量名称相同，它们也不是同一个变量。

递归函数三原则

现在可以小小总结一下了。

一个递归函数，之所以是一个有用、有效的递归函数，因为它要遵守递归三原则。正如，一个机器人之所以是个合格的机器人，因为它遵循阿西莫夫三铁律（Three Laws of Robotics）一样。

1.根据定义，递归函数必须在内部调用自己；
2.必须设定一个退出条件；
3.递归过程中必须能够逐步达到推出条件……

从这个三原则望过去，factorial()是个合格有效的递归函数，满足第一条，满足第二条，尤其还满足第三条中的“* 逐步达到*”！

而那个扯淡的盗梦空间递归程序，说实话，不太合格，虽然它满足第一条，也满足第二条，第三条差点蒙混过关：它不是逐步达到，而是不管怎样肯定能达到——这明显是两回事……原谅它罢，它的作用就是当例子，一次正面的，一次负面的，作为例子算是功成圆满的！

刚开始的时候，初学者好不容易搞明白递归函数究竟怎么回事之后，就不由自主地想“我怎样才能学会递归式思考呢？”——其实吧，这种想法本身可能并不是太正确或者准确。

准确地讲，地柜是一种解决问题的方式。当我们需要解决的问题，可以被逐步拆分成很多越来越小的模块，然后每个小模块还都能用同一种算法处理的时候，用递归函数最简洁有效。所以，只不过是在遇到可以用递归函数解决问题的时候，才需要去写递归函数。

从这个意义上来看，递归函数是程序员为了自己方便而使用的，并不是为了计算机方便而使用——计算机么，你给它的任务多一点或者少一点，对它来讲无所谓，反正有点就能运转，它自己又不付电费……

理论上来讲，所有用递归函数能完成的任务，不用递归函数也能完成，只不过代码多一点，啰嗦一点，看起来没有那么优美而已。

还有，递归，不像“序列类型”那样，是某个编程语言的特有属性。它其实是一种特殊算法，也是某个编程技巧，任何编程语言，都可以使用递归算法，都可以通过编写递归函数巧妙地解决问题。

但是，学习递归函数本身就很烧脑啊！这才是最大的好事。从迷惑，到不太迷惑，到清楚，到很清楚，再到特别清楚——这是个非常有趣，非常有成就感的过程。

这种过程锻炼的是脑力——在此之后，再遇到大多数人难以理解的东西，你就可以使用这一次积累的经验，应用你已经磨练过的脑力。有意思。

至此，封面上的那个“伪代码”应该好理解了：

python
def teach_yourself(anything):
    while not create():
        learn()
        practice()
    return teach_yourself(another)

teache_yourself(coding)

自学还真的就是递归函数呢……

思考与练习

普林斯顿大学的一个网页，有很多递归的例子

https://introcs.cs.princeton.edu/java/23recursion/

脚注
参见 Stackoverflow 上的讨论：Boolean identity == True vs is True

关于阿西莫夫三铁律（Three Laws of Robotics）的类比，来自著名的 Python 教程，Think Python: How to Think Like a Computer Scientist