笔试题1：最长严格递增子序列

小希偶然得到了传说中的月光宝盒,然而打开月光宝盒需要一串密码。虽然小希并不知道密码具体是什么，但是月光宝盒的说明书上有着一个长度为 n (2 <= N <= 50000)的序列 a (-10^9 <= a[i] <= 10^9)的范围内。下面写着一段话：密码是这个序列的最长的严格上升子序列的长度(严格上升子序列是指，子序列的元素是严格递增的，例如: [5,1,6,2,4]的最长严格上升子序列为[1,2,4])，请你帮小希找到这个密码。

• 输入
• 第1行：1个数N，N为序列的长度(2<=N<=50000)
• 第2到 N+1行：每行1个数，对应序列的元素(-10^9 <= a[i] <= 10^9)
• 输出
• 一个正整数表示严格最长上升子序列的长度
• 样例输入
• 8
• 5
• 1
• 6
• 8
• 2
• 4
• 5
• 10
• 样例输出
• 5

本题是一道动态规划问题，如果暴力求解的话，每一个数都有选或者不选两种状态，然后判断是否为上升子序列，如果是，就更新最长长度，直到枚举完所有情况。但是，当有n个元素的时候，其复杂度将达到O(2^n)，这显然是不可承受的。

所以利用动态规划可以显著的降低复杂度。

令dp[i]表示以a[i]结尾的最长上升子序列的长度，对a[i]来说有两种可能：

1)如果在i之前存在比a[i]小的数a[j]（j < i），并且dp[j] + 1 > dp[i]（即把a[i]放到以a[j]结尾的子序列之后其长度大于当前以a[i]结尾的子序列的长度），那么就把a[i]放到之前以a[j]结尾的子序列之后，并令其长度＋1（即dp[i] = dp[j] + 1）；

2)如果a[i]之前的所有数都比它大，那么只能a[i]自身成一个子序列，其长度为1。

思路二
如果遇到的元素比备选集合里面的元素都大，那么就添加进去，使得上升序列长度增加；

如果遇到的元素比备选集合里最后一个元素小，那么代表它无法被添加到备选集。但是为了使后面得到上升序列的机会增加，需要在不破坏集合上升属性和元素总数的情况下，替换掉备选集中的元素，那么就是替换掉大于他的元素中最小的那个，这样才能满足条件。

这时候，发现备选集一直是保持有序，寻找替换元素的时候就可以用到二分查找，得到O(n log n)的时间复杂度。其中还要注意的是如果元素已经在备选集合中，是不需要任何操作的，因为它并不能增加上升序列的长度，也不会增加之后遇到上升序列的机会，所以直接跳过。

这个做法的精髓是即使用小的元素替换掉中间的元素，备选集的大小不变，还是原来的大小，

public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt();
        int[] a = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            a[i] = sc.nextInt();
        }
        int maxLen = -1;
        int[] dp = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            //没有找到前面比其小的最小值，初试默认赋1
            dp[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                //如果前面存在比起小的元素，则计算上之前元素的最大值
                if (a[i] > a[j] && dp[j] + 1 > dp[i]){
                    dp[i] = dp[j] +1;
                }

            }
            maxLen = Math.max(maxLen,dp[i]);
        }
        System.out.println(maxLen);

 /**
         * 第二种优化的集合方法
         */
        List listdp = new ArrayList<>();
        listdp.add(a[0]);
        for (int i = 1; i < N; i++) {
            if (listdp.contains(a[i])) continue;
            else if (a[i] > listdp.get(listdp.size() - 1)){
                listdp.add(a[i]);
            }else {
                int l = 0;
                int r = listdp.size()-1;
                //找到第一个比当前数大的数替换
                while (l < r){
                    int mid = l + (r-l)/2;
                    if (listdp.get(mid) < a[i]) l = mid + 1;
                    else r = mid;
                }
                listdp.set(r,a[i]);
            }
        }
        System.out.println(listdp.size());
    }