2023河南萌新联赛第（三）场：郑州大学 F - 数学题

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64bit IO Format: %lld

题目描述

给出n，x，请你输出这个式子的值对998244353取余
$sum={\prod }_{i=0}^n(1+x^{(2^i)})$

输入描述:

输入一行两个整数 $n$ 和 $x$
保证 $0<n<10^{18}$ $1<x<10^{18}$

输出描述

输出式子的值对998244353取余的结果

示例1

输入

3 2

输出

65535

$$\begin{gathered} 原=\prod _{i=0}^n(1+x^{(2^i)})=(1-x)\frac{{\prod }_{i=0}^n(1+x^{(2^i)})}{1-x} \\ 将上面的式子通过平方差公式连续化简n次就能得到 \\ 原式=\frac{(1-x^{2^{(n+1)}})}{1-x}即可o(logn)得到式子的值 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 注意: \\ 1.对指数取模的时候根据欧拉定理应该取模(mod-1) \\ 2.当x的值为1时要特判，否则分母为0。此时输出2的n+1次方即可 \end{gathered}$$

import java.io.*;

public class Main {
    private static final int MOD = 998244353;

    public static long ksm(long a, long b, long mod) {
        a %= mod;
        long res = 1;
        for (; b != 0; b >>= 1) {
            if ((b & 1) == 1) {
                res = res * a % mod;
            }
            a = a * a % mod;
        }
        return res;
    }

    public static long inv(long x) {
        return ksm(x, MOD - 2, MOD);
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader bf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        String[] str = bf.readLine().split(" ");
        long n = Long.parseLong(str[0]);
        long x = Long.parseLong(str[1]);
        x %= MOD;
        if (x == 1) {
            bw.write(String.valueOf(ksm(2, n + 1, MOD)));
        } else {
            long k = ksm(2, n + 1, MOD - 1);
            bw.write(String.valueOf((ksm(x, k, MOD) - 1 + MOD) % MOD * inv(x - 1) % MOD));
        }
        bw.close();
    }
}