在游戏开发中，需要使用到向量，三角函数之类的知识。先学会里面的概念，后续应用才会容易制作。

1.笛卡尔坐标系
2.三角学
- 1.直角三角形三角函数概念
- 2.角度弧度
- 3.诱导公式
  - 1.二倍角
3.向量
- 1.加法
- 2.减法
- 3.向量与标量乘
- 4.获取长度
- 5.normalized
- 6. Dot Product
- 7.cross produce
- 8.获取角度
- 9.常用函数
实例
- 1.计算围绕role的怪物
- 2.计算园外切线
- 3.计算某个点是否为三角形内
- 4.计算矩形内的一点
4.矩阵
- 1.概念
- 2.矩阵运算
  - 1.转置
  - 2.矩阵与标量乘
  - 3.矩阵乘法
  - 4.克罗内克积（Kronecker Product）
5.四元数
- 1.概述
- 2.欧拉恒等式
- 3.欧拉角
- 4.万向节死锁
参考

1.笛卡尔坐标系

2d坐标系：x,y

3d坐标系：x,y,z

在3d坐标系里面有左手坐标系和右手坐标系。这个可能对人来说有直观认知上的区别，其实是不相悖。

右手坐标系

sro8jH.jpg

左手坐标系

sro3ge.jpg

附带：

极坐标系（polar coordinates）是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个单位长度，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。

极坐标系用于定位和导航。极坐标通常被用于导航，作为旅行的目的地或方向可以作为从所考虑的物体的距离和角度。

2.三角学

1.直角三角形三角函数概念

sr7VT1.jpg

a：对边
b：邻边
c：斜边

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

正弦：对边比斜边。

rqrIfK.png

余弦：邻边比斜边。

rqrTSO.png

正切：对边比邻边。

余切：邻边比对边。

2.角度弧度

半径为1的园，全弧长为2πr。

角度是两条线段的夹角，弧度是两条线段和园相交的点，在圆弧上走过的距离。

sr7ghV.jpg

3.诱导公式

1.二倍角

在阅读Detour源码里面有这样的应用。里面将会读取一个sin cos的一半做乘法。

3.向量

向量计算应用于游戏中来计算位置，里面和三角函数也有关系。

向量和标量不一样，

标量(scale)只表示数值大小；

向量(矢量、vector)包含方向和数值大小。

举例：

速度、位移是向量

速率、长度是标量

零向量是指的长度为0，无方向的向量。

1.加法

将两个向量拼接成平行四边形，对角向量就是加法的结果。两个相同的向量相加，等于将向量长度增加一倍。

snVdeS.png

2.减法

u向量-v向量，就是指的从u向量目的点指向v向量目标点

snVUL8.png

3.向量与标量乘

向量与标量乘法，将向量按照某个长度缩放，一般用于单位向量向前行进、缩回多少距离。

4.获取长度

获取向量从开始到结束的距离。从向量得到标量。利用勾股定理，向量记录的就是直角三角形斜边在x,y轴上的投影长度，斜边长度就是x,y的平方和的开方。

数学公式里面向量长度使用双竖线引用。

5.normalized

归一化需要将向量长度计算出来，然后将向量在各个维度的分量都除以长度。这样就能得到一个单位向量。归一化用一条竖线。

单位化的向量分量的几何意义

这个特性将会应用于计算位置。

6. Dot Product

点乘能计算两向量的夹角的cos值。cos有一个特点，在取值±90°的值域都是>0。在游戏中，这种计算能很快判断一个怪物是否在玩家身后。这个函数不能判断左右，但是能判断前后。

7.cross produce

叉乘用于算左右。sin有个特点，取值在0~179°都是>0。用找个特点能判定向量是在自己的左边还是右边。

叉乘需要有3个维度才有意义。

u叉乘v之后结果是sin*u、v向量的分量。n就是垂直于u、v构成平面的垂直法线向量。

8.获取角度

将向量转换成弧度，向量无需归一化。

9.常用函数


// 将弧度转换成角度
float radian2angle(float radian) {
    return radian * (180.0f / mathfu::kPi);
}

// 将角度转换成弧度
float angle2radian(float angle) {
    return angle * (mathfu::kPi / 180.0f);
}

// 将向量转换成角度
float vector2angle(mathfu::Vector a) {
    return radian2angle(std::atan2(a.y, a.x));
}

// 角度转换成向量
void angle2vector(float angle, mathfu::Vector& a) {
    auto radian = angle2radian(angle);
    a.y = std::sin(radian);
    a.x = std::cos(radian);
}

// 按照角度，长度，转换一个位置
void movepos(float angle,mathfu::Vector& rawPos, float len, mathfu::Vector& out) {
    mathfu::Vector dir;
    angle2vector(angle, dir);
    dir.x *= len;
    dir.y *= len;
    out = rawPos + dir;
}

// 输出一个向量
void outputvector(const char* tag, mathfu::Vector& a) {
    std::cout << tag << " "<< a.x << "," << a.y << "\n";
}

实例

1.计算围绕role的怪物

先检查是否和其他怪物重合

按照±小角度开始偏移尝试是否能站

#include "mathfu/vector.h"
#include "mathfu/constants.h"
#include 

float radian2angle(float radian) {
    return radian * (180.0f / mathfu::kPi);
}

float angle2radian(float angle) {
    return angle * (mathfu::kPi / 180.0f);
}

float vector2angle(mathfu::Vector a) {
    return std::atan2(a.y, a.x)*(180.0f / mathfu::kPi);
}

void angle2vector(float angle, mathfu::Vector& a) {
    auto radian = angle2radian(angle);
    a.y = std::sin(radian);
    a.x = std::cos(radian);
}

void outputvector(const char* tag, mathfu::Vector& a) {
    std::cout << tag << "=(" << a.x << "," << a.y << ")\n";
}

// rawBattleCircleFix posSelf: linmath.Vector3{X:11424.3, Y:-311.48605, Z:17336.395}, 
// posEnemy: linmath.Vector3{X:11330.254, Y:-311.48605, Z:17465.838},
// newPos: linmath.Vector3{X:11245.467, Y:-311.48605, Z:17601.525},
// angle: -32, e2sLen: 160.00067
// 测试怪物按照弧形排布在玩家周围
void test_monster_battle_cricle()
{
    float dst = 160.0f; // 怪物距离
    float bodyRadius = 80.0f;// 怪物的宽度

    mathfu::Vector monsterPos(11424.3f, 17336.395f);
    mathfu::Vector rolePos(11330.254f, 17465.838f);
    auto dir = monsterPos - rolePos;
    auto angle = vector2angle(dir) + 20.0f;

    mathfu::Vector finalDir;
    angle2vector(angle, finalDir);

    finalDir.x *= dst;
    finalDir.y *= dst;

    mathfu::Vector newPos = rolePos + finalDir;
    
    outputvector("monsterPos", monsterPos);
    outputvector("rolePos", rolePos);
    outputvector("newPos",newPos);
}

cmake定义文件

cmake_minimum_required (VERSION 3.2)
project(math_base)

IF (CMAKE_SYSTEM_NAME MATCHES "Windows")
    add_definitions(-DWIN32)
    add_definitions(-DWIN32_LEAN_AND_MEAN)
    add_definitions(-D_WINSOCK_DEPRECATED_NO_WARNINGS)
    add_definitions(-D_CRT_SECURE_NO_WARNINGS)
    add_definitions(-D_USE_MATH_DEFINES)
ENDIF (CMAKE_SYSTEM_NAME MATCHES "Windows")

include_directories( $ENV{MATHFU_PATH}/include )

file(GLOB_RECURSE all_SRC "src/*.cpp" 
    "src/*.hpp" "src/*.h" 
    "src/*.cc" )

add_executable(test_math ${all_SRC})

target_link_libraries(test_math)

计算的位置，在坐标系上的位置

rOkIH0.png

2.计算园外切线

利用三角函数来计算点对于圆的切线；

void test_fun_fix_circle()
{
    // 圆半径
    float radius = 8.0f;
    // 圆心位置
    mathfu::Vector circlePos(0, 0);
    // 园外一点
    mathfu::Vector checkPos(10, 12);
    // 园外点指向圆心向量
    mathfu::Vector l = circlePos - checkPos;

    // 计算距离
    auto len = l.Length();

    // 计算出园外点指向圆心向量角度
    float cos = radius / len;
    float radian = std::acos(cos);
    
    // 直角三角形，计算另一角度
    float offsetangle = 90 - radian2angle(radian);
    
    // 将园外点指向圆心向量归一化，将向量转换成角度
    auto dir = l.Normalized();
    auto oldAngle = vector2angle(l);

    // 将 园外点指向圆心向量角度 + 通过直角三角形方式计算出来的夹角
    // 这个夹角就切线方向
    auto finalAngle = oldAngle + offsetangle;

    // 将角度换算成为向量
    mathfu::Vector finalDir;
    angle2vector(finalAngle, finalDir);

    outputvector("finalDir", finalDir);

    // 计算出切线点离 园外点 的距离，将向量长度设置成这个距离
    auto al = std::sqrt(len * len - radius * radius);
    finalDir.x = finalDir.x * al;
    finalDir.y = finalDir.y * al;

    // 使用 园外点 + 偏移向量就能得到切线过圆边的点
    auto finalPos = checkPos + finalDir;

    outputvector("finalPos", finalPos);
}

效果：

si1XZQ.png

3.计算某个点是否为三角形内

原理在 b站 GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪 38分钟处讲解了。

叉积是用于控制左右。如果获取的值域是正数左边，负数为右边。

利用的是，三角形三点按照顺时针的向量，以及p点的向量的叉乘永远是相同的象限的。


void test_triangle_inner()
{
    mathfu::Vector A(8.66992, 6.79278);
    mathfu::Vector B(4.96974, 2.1609);
    mathfu::Vector C(12.31686, 1.78822);
    mathfu::Vector P(8.98936, 4.07754);

    mathfu::Vector P2(11, 5);

    auto u = B - A;
    auto v = C - B;
    auto w = A - C;

    std::cout << "start check P\n";
    auto t = P - A;
    std::cout << t.DotProduct(t, u) << "\n";
    t = P - B;
    std::cout << t.DotProduct(t, v) << "\n";
    t = P - C;
    std::cout << t.DotProduct(t, w) << "\n";


    std::cout << "start check P2\n";
    t = P2 - A;
    std::cout << t.DotProduct(t, u) << "\n";
    t = P2 - B;
    std::cout << t.DotProduct(t, v) << "\n";
    t = P2 - C;
    std::cout << t.DotProduct(t, w) << "\n";

}

//output:
//start check P
//11.3947
//28.8183
//23.5922
//start check P2
//- 0.317775
//43.247
//20.8761
// 如果旋转方向相同，这些向量的sin值的符号都是一致的。
//
// 这个计算不会涉及到开方，所以很好用。
//static inline T DotProductHelper(const Vector& v1,
//                                  const Vector& v2) {
//   return v1[0] * v2[0] + v1[1] * v2[1];
// }

snVFIJ.png

4.计算矩形内的一点

原理和三角形检查一样。

先将一个矩形做偏移，旋转：

s2djk4.png

取两个点开始计算：

s2wm9A.png

void test_rect_inner()
{
    mathfu::Vector r1(-4, -5);
    mathfu::Vector r2(-1.401923789, -3.5);
    mathfu::Vector r3(-4.901923789, 2.562177826);
    mathfu::Vector r4(-7.5, 1.062177826);


    mathfu::Vector i(-4.88, -1.49);
    mathfu::Vector j(-8.26, -3.77);

    std::cout << "计算i点\n";
    auto t1 = r2 - r1;
    auto t2 = i - r1;
    std::cout << mathfu::Vector::DotProduct(t1,t2) << "\n";
    t1 = r3 - r2;
    t2 = i - r2;
    std::cout << mathfu::Vector::DotProduct(t1, t2) << "\n";
    t1 = r4 - r3;
    t2 = i - r3;
    std::cout << mathfu::Vector::DotProduct(t1, t2) << "\n";
    t1 = r1 - r4;
    t2 = i - r4;
    std::cout << mathfu::Vector::DotProduct(t1, t2) << "\n";

    std::cout << "计算j点\n";

    t1 = r2 - r1;
    t2 = j - r1;
    std::cout << mathfu::Vector::DotProduct(t1, t2) << "\n";
    t1 = r3 - r2;
    t2 = j - r2;
    std::cout << mathfu::Vector::DotProduct(t1, t2) << "\n";
    t1 = r4 - r3;
    t2 = j - r3;
    std::cout << mathfu::Vector::DotProduct(t1, t2) << "\n";
    t1 = r1 - r4;
    t2 = j - r4;
    std::cout << mathfu::Vector::DotProduct(t1, t2) << "\n";
}

4.矩阵

1.概念

矩阵是按照行列方式排列的数字。是线性代数里面中重要的数学概念。

描述矩阵一般都是说

的矩阵。r是rows行（横着的条目算1个），c是column（竖着的条目算1个）

方阵就是行和列数目都是相同的。在3d运算中经常使用这种方阵

单位矩阵，对角线都是1，其余都是0。

书写的时候，矩阵都是写成大写。M，A，R。手写的时候，矩阵的括号其实要写成圆括号()，印刷体中都是[]表示。

向量转换成矩阵可以成为行矩阵、列矩阵。

2.矩阵运算

单位矩阵

1.转置

记作：

2.矩阵与标量乘

$M*k= k *\left| \begin{matrix} m11 & m12 & m13\\ m21 & m22 & m23\\ m31 & m32 & m33\\ \end{matrix} \right| = k \left| \begin{matrix} k*m11 & k*m12 & k*m13\\ k*m21 & k*m22 & k*m23\\ k*m31 & k*m32 & k*m33\\ \end{matrix} \right|$

3.矩阵乘法

公式定义：

公式分解：

$A*B= \left| \begin{matrix} a11 & a12 & a13\\ a21 & a22 & a23\\ \end{matrix} \right| * \left| \begin{matrix} b11 & b12 \\ b21 & b22 \\ b31 & b32 \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} a11b11+a12b21+a13b31 & a11b21+ a12b22+a13b23\\ a21b11+a22+b21+a23b31 & a21b12+a22b22+a23b32\\ \end{matrix} \right|$

1、当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。

2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。

3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

wps矩阵计算

使用矩阵来做位移，旋转，缩放操作：

sBTkV0.png

坐标系上的位置：

sBoz8g.png

4.克罗内克积（Kronecker Product）

克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算，符号记作。克罗内克积也被称为直积或张量积.以德国数学家利奥波德·克罗内克命名。

$\left| \begin{matrix} a11 & a12 \\ a21 & a22 \\ \end{matrix} \right| \bigotimes \left| \begin{matrix} b11 & b12 \\ b12 & b22 \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} a11b11 & a11b12 & a12b11 & a12b12 \\ a11b21 & a11b22 & a12b21 & a12b22 \\ a21b11 & a11b12 & a22b21 & a22b22 \\ a21b21 & a21b22 & a22b21 & a22b22 \\ \end{matrix} \right|$

5.四元数

1.概述

四元数是1843年发明的。爱尔兰数学家哈密顿(William Rowan Hamilton,1805-1865）。

四元数运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数可以用来取代张量表示。有时候采用带有复数元素之四元数会比较容易，导得结果不为除法代数之形式。然而亦可结合共轭运算以达到相同的运算结果。

从概念上来看，就是在数学里面定义对于-1开方最后获取的值。

复数是对实数集合的一种扩展。

在游戏开发应用里面，四元数用于做旋转计算。所以最好先将矩阵搞清楚。复数已经是一种数学工具了，在实际世界里面不能表示什么意义。

四元数不是专门给3D图形学设计的，但是能用在3D图形学里面：

3D相机控制
压缩存储
平滑3D插值

复数定义

a是实部，b是虚部；

复数与标量相乘、相除

复数加减

复数加法恒等元

复数恒等元

复数除法

推算的时候，需要分子和分母都乘上分母的共轭复数。

共轭(Conjugate)

两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作（z上加一横，英文中可读作Conjugate z,z conjugate or z bar），有时也可表示为

计算负数的模

~~中划线~~

2.欧拉恒等式

我还没有理解到这个意义。

当

推导

3.欧拉角

4.万向节死锁

参考

[1] markdown公式
[2] windows10输入公式
[3] 三角函数
[4] 图形计算器
[5] GeoGebra数学
[6] GeoGebra-Classic
[7] Google-mathfun库
[8] GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪
[9] NumPy教程
[10] 2d/3dPython库
[11] markdown公式2
[12] markdown公式3
[13] B站矩阵
[14] 极坐标
[15] 3d数学笔记
[16] 妈咪说-复数
[17] GeoGebra-Classic-Win版本
[18] 复数运算规则
[19] 欧拉角和四元数的理解
[20] 欧拉角和万向节死锁

3d数学