时间和空间复杂度

算法复杂度

算法复杂度分为和。

• 时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。
• 空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。

时间复杂度代表「时效（运行时间）」和空间复杂度代表「存储（占用空间）」

我们都是用“时间复杂度”来指运行时间的需求，是用“空间复杂度”指空间需求。一般说的“复杂度” ，通常指的是时间复杂度。

事例场景：

• 场景1：给小灰一条长10寸的面包，小灰每3天吃掉1寸，那么吃掉整个面包需要几天？
  • 答案： 3 * 10 = 30天。
    如果面包的长度是 N 寸呢？
    此时吃掉整个面包，需要 3 X n = 3n 天。
    如果用一个函数来表达这个相对时间，可以记作 T(n) = 3n。
• 场景2：给小灰一条长16寸的面包，小灰每5天吃掉面包剩余长度的一半，第一次吃掉8寸，第二次吃掉4寸，第三次吃掉2寸......那么小灰把面包吃得只剩下1寸，需要多少天呢？
  • 答案是 5 X = 5 X 4 = 20 天。
    如果面包的长度是 N 寸呢？
    需要 5 X = 5天，记作 T（n） = 5。
• 场景3：给小灰一条长10寸的面包和一个鸡腿，小灰每2天吃掉一个鸡腿。那么小灰吃掉整个鸡腿需要多少天呢？
  • 答案是2天。因为只说是吃掉鸡腿，和10寸的面包没有关系 。
    如果面包的长度是 N 寸呢？
    无论面包有多长，吃掉鸡腿的时间仍然是2天，记作 T（n） = 2。
• 场景4：给小灰一条长10寸的面包，小灰吃掉第一个一寸需要1天时间，吃掉第二个一寸需要2天时间，吃掉第三个一寸需要3天时间.....每多吃一寸，所花的时间也多一天。那么小灰吃掉整个面包需要多少天呢？
  • 答案是从1累加到10的总和，也就是55天。
    如果面包的长度是 N 寸呢？
    此时吃掉整个面包，需要 1+2+3+......+ n-1 + n = (1+n)*n/2 = 0.5n^2 + 0.5n。
    记作 T(n) = 0.5n^2 + 0.5n。

总结

计算公式坐标轴.png

这四种时间复杂度究竟谁用时更长，谁节省时间呢？
根据斜率，得出结论：
O（1） < O（） < O（n） < O（n^2）
常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：�
O(1) < O() < (n) < O(n) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

复杂度与效率挂钩

我们来举一个栗子：

算法A的相对时间规模是T(n) = 100n，时间复杂度是O(n)。
算法B的相对时间规模是T(n) = 5n^2，时间复杂度是O(n^2)。
算法A运行在小灰家里的老旧电脑上，算法B运行在某台超级计算机上，运行速度是老旧电脑的100倍。
那么，随着输入规模 n 的增长，两种算法谁运行更快？

运算次数.png

推导时间复杂度

如何推导出时间复杂度呢？有如下几个原则：

• 如果运行时间是常数量级，用常数1表示；
• 只保留时间函数中的最高阶项；
• 如果最高阶项存在，则省去最高阶项前面的系数。

Ο()、Ο(n)、 Ο(n)、Ο(n^2)和Ο(n3)称为多项式时间，而Ο(2^n)和Ο(n!)称为指数时间。计算机科学家普遍认为前者（即多项式时间复杂度的算法）是有效算法，把这类问题称为P（Polynomial,多项式）类问题，而把后者（即指数时间复杂度的算法）称为NP（Non-Deterministic Polynomial, 非确定多项式）问题。