Lie-Algebraic Averaging For Globally Consistent Motion Estimation
Lie-Algebraic Averaging For Globally Consistent Motion Estimation
问题描述
n张图像的配准需要n-1个刚体变换来描述，而n张图像最多可以求解出n(n-1)/2个刚体变换。如果直接从中按照某种策略选取n-1个刚体变换的话，误差会逐渐累积，因此论文中提出基于李代数的全局运动估计平均方法。
基本思路
假设全局n张图像对应相机坐标系到全局坐标系的变换矩阵分别是 T i , i = 1 , . . . , n T_i, i=1,...,n Ti,i=1,...,n，任意两张图像之间相机坐标系的变换矩阵分别为 T i j , i ≠ j , i = 1 , . . . , n ; j = 1 , . . . , n T_{ij}, i\ne j, i=1,...,n;j=1,...,n Tij,i=j,i=1,...,n;j=1,...,n。因此，由位置关系可知， T i j = T j T i − 1 T_{ij}=T_jT_i^{-1} Tij=TjTi−1。在求解出任意两张图像中的相机变换矩阵和全局变换矩阵后，由于误差的影响，等式 T i j = T j T i − 1 T_{ij}=T_jT_i^{-1} Tij=TjTi−1并不会成立，其中的误差即可用 Δ T i j = T j − 1 T i j T i \Delta T_{ij}=T_j^{-1}T_{ij}T_i ΔTij=Tj−1TijTi来表示。对误差项求“平均”后得到 Δ T i \Delta T_i ΔTi，然后以此更新全局变换矩阵 T i = Δ T i T i T_i=\Delta T_iT_i Ti=ΔTiTi，直至收敛。这里能这么做的原因是，最优解的误差项应该是单位矩阵 I I I，此时，可知存在一个稳定的收敛状态，即全局变换矩阵不再变化。
李代数求解过程
刚体变换矩阵 T T T是特殊欧式群，求平均的方法无法直接使用，因为平均后的结果无法保证仍然是一个特殊欧式群。因此，采用李代数来表示，特殊欧式群SE3与李代数se3之间存在一个指数映射的关系，即假设李代数向量为 ϕ \phi ϕ，那么对应的李群矩阵为 e x p ( ϕ ^ ) exp(\hat{\phi}) exp(ϕ^)，其中^表示反对称矩阵运算，可以将一个向量转换成反对称矩阵。因此，假设存在两个特殊欧式群矩阵X和Y，则 X ⋅ Y = e x p ( x ^ ) e x p ( y ^ ) X \cdot Y=exp(\hat{x})exp({\hat{y}}) X⋅Y=exp(x^)exp(y^)，此处李代数的指数映射与普通欧式空间中映射不同，不能直接相加，而应该使用BCH公式近似，但近似结果仍可表示为两者相加，于是 ϕ i j = ϕ j − ϕ i \phi_{ij}=\phi_j-\phi_i ϕij=ϕj−ϕi，可将所有全局变换矩阵的李代数 ϕ \phi ϕ组成矩阵 Φ = ( ϕ 1 , . . . ϕ n ) \Phi=(\phi_1, ...\phi_n) Φ=(ϕ1,...ϕn)，因此 ϕ i j = ( . . . , I , . . . , − I ) Φ ≡ D i j Φ \phi_{ij}=(...,I,...,-I)\Phi \equiv D_{ij}\Phi ϕij=(...,I,...,−I)Φ≡DijΦ，将所有局部变换矩阵的李代数组成矩阵有 Φ ^ = ( ϕ i j , . . . ) \hat\Phi=(\phi_{ij},...) Φ^=(ϕij,...)，可得 Φ ^ = D Φ \hat \Phi = D\Phi Φ^=DΦ，因此算法流程如下：
1.计算所有变换矩阵
2.计算所有 Δ T i j = T j − 1 T i j T i \Delta T_{ij}=T_j^{-1}T_{ij}T_i ΔTij=Tj−1TijTi
3.计算对应李代数 Δ ϕ i j = l o g ( Δ T i j ) \Delta \phi_{ij}=log(\Delta T_{ij}) Δϕij=log(ΔTij),得到 Δ Φ ^ \Delta \hat \Phi ΔΦ^
4.因此， Δ Φ = D − 1 Δ Φ ^ \Delta \Phi = D^{-1} \Delta \hat \Phi ΔΦ=D−1ΔΦ^
5.利用 Δ Φ \Delta \Phi ΔΦ更新全局变换矩阵
6.判断 ∣ ∣ Δ Φ ∣ ∣ ||\Delta \Phi|| ∣∣ΔΦ∣∣是否小于某个阈值，若小于则终止，否则转2