Lie-Algebraic Averaging For Globally Consistent Motion Estimation

Lie-Algebraic Averaging For Globally Consistent Motion Estimation

问题描述

n张图像的配准需要n-1个刚体变换来描述，而n张图像最多可以求解出n(n-1)/2个刚体变换。如果直接从中按照某种策略选取n-1个刚体变换的话，误差会逐渐累积，因此论文中提出基于李代数的全局运动估计平均方法。

基本思路

假设全局n张图像对应相机坐标系到全局坐标系的变换矩阵分别是$T_i,i=1,...,n$，任意两张图像之间相机坐标系的变换矩阵分别为$T_{ij},i\ne j,i=1,...,n;j=1,...,n$。因此，由位置关系可知，$T_{ij}=T_j{T}_i^{-1}$。在求解出任意两张图像中的相机变换矩阵和全局变换矩阵后，由于误差的影响，等式$T_{ij}=T_j{T}_i^{-1}$并不会成立，其中的误差即可用$\Delta T_{ij}=T_j^{-1}{T}_{ij}{T}_i$来表示。对误差项求“平均”后得到$\Delta T_i$，然后以此更新全局变换矩阵$T_i=\Delta T_i{T}_i$，直至收敛。这里能这么做的原因是，最优解的误差项应该是单位矩阵$I$，此时，可知存在一个稳定的收敛状态，即全局变换矩阵不再变化。

李代数求解过程

刚体变换矩阵$T$是特殊欧式群，求平均的方法无法直接使用，因为平均后的结果无法保证仍然是一个特殊欧式群。因此，采用李代数来表示，特殊欧式群SE3与李代数se3之间存在一个指数映射的关系，即假设李代数向量为$\varphi$，那么对应的李群矩阵为$exp(\hat{\varphi })$，其中^表示反对称矩阵运算，可以将一个向量转换成反对称矩阵。因此，假设存在两个特殊欧式群矩阵X和Y，则$X\cdot Y=exp(\hat{x})exp(\hat{y})$，此处李代数的指数映射与普通欧式空间中映射不同，不能直接相加，而应该使用BCH公式近似，但近似结果仍可表示为两者相加，于是${\varphi }_{ij}={\varphi }_j-{\varphi }_i$，可将所有全局变换矩阵的李代数$\varphi$组成矩阵$\Phi =({\varphi }_1,...{\varphi }_n)$，因此${\varphi }_{ij}=(...,I,...,-I)\Phi \equiv D_{ij}\Phi$，将所有局部变换矩阵的李代数组成矩阵有$\hat{\Phi }=({\varphi }_{ij},...)$，可得$\hat{\Phi }=D\Phi$，因此算法流程如下：

1.计算所有变换矩阵
2.计算所有$\Delta T_{ij}=T_j^{-1}{T}_{ij}{T}_i$
3.计算对应李代数$\Delta {\varphi }_{ij}=log(\Delta T_{ij})$,得到$\Delta \hat{\Phi }$
4.因此，$\Delta \Phi =D^{-1}\Delta \hat{\Phi }$
5.利用$\Delta \Phi$更新全局变换矩阵
6.判断$||\Delta \Phi ||$是否小于某个阈值，若小于则终止，否则转2