高中奥数 2022-02-14

2022-02-14-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题二 P095 习题07）

(Jenson不等式)设是上的凸函数(即对任意、,都).

证明:对任意个数,都有
.

证明

对比第10节中平均值不等式的证明二,用其中出现的方法来证这个应用广泛的Jenson 不等式.

当时,不等式显然成立.

现设不等式对成立,则由的定义,可知
$\begin{aligned} f\left(\dfrac{x_{1}+\cdots+x_{2^{k+1}}}{2^{k+1}}\right) & \leqslant \dfrac{1}{2}\left(f\left(\dfrac{x_{1}+\cdots+x_{2^{k}}}{2^{k}}\right)+f\left(\dfrac{x_{2^{k}+1}+\cdots+x_{2^{k+1}}}{2^{k}}\right)\right) \\ & \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2^{k}} \sum\limits_{j=1}^{2^{k}} f\left(x_{j}\right)+\dfrac{1}{2^{k}} \sum\limits_{j=1}^{2^{k}} f\left(x_{2^{k}+j}\right)\right) \\ &=\dfrac{1}{2^{k+1}} \sum\limits_{j=1}^{2^{k+1}} f\left(x_{j}\right) \end{aligned}$
因此,不等式对任意都成立.

对一般的,设,,记,则由不等式对成立,知

而,于是,我们有

故,即不等式对成立.

命题获证.

2022-02-14-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题二 P095 习题08）

设正实数满足,这里,.

证明:.

证明

引理设是上的凸函数,,,正实数满足,则

引理的证明:由Jenson不等式,知
$\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^{n}f\left(x_{i}\right)&=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\dfrac{1}{n-1}\sum\limits_{j\neq i}f\left(x_{j}\right)\right)\\ &\geqslant \sum\limits_{i=1}^{n}\left(\dfrac{1}{n-1}\sum\limits_{j\neq i}x_{j}\right)\\ &=\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(\dfrac{1-x_{i}}{n-1}\right). \end{aligned}$
于是引理成立.

回证原题.令,注意到,对任意,都有
$\begin{aligned} f(x)+f(y) &=\ln \dfrac{1+x}{x}+\ln \dfrac{1+y}{y}\\ &=\ln \dfrac{1+x y+x+y}{x y} \\ &=\ln \left(\dfrac{1}{x y}+\dfrac{x+y}{x y}+1\right) \\ & \geqslant \ln \left( \dfrac{1}{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^{2}}+\dfrac{x+y}{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^{2}}+1\right) \\ &=\ln \left(\dfrac{4}{(x+y)^{2}}+\dfrac{4}{x+y}+1\right)\\ &=\ln \left(\dfrac{(x+y+2)^{2}}{(x+y)^{2}}\right) \\ &=2 \ln \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{x+y}{2}}\right)\\ &=2 f\left(\dfrac{x+y}{2}\right) \end{aligned}$
所以,是上的凸函数,依此结合前面所得可知命题成立.

2022-02-14-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题二 P095 习题09）

斐波那契数列满足:,.证明:.

证明

记,则,,而当时,有
$\begin{aligned} S_{n} &=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\sum\limits_{i=3}^{n} \dfrac{F_{i}}{2^{i}} \\ &=\dfrac{3}{4}+\sum\limits_{i=3}^{n} \dfrac{F_{i-1}+F_{i-2}}{2^{i}} \\ &=\dfrac{3}{4}+\frac{1}{2} \sum\limits_{i=3}^{n} \dfrac{F_{i-1}}{2^{i-1}}+\dfrac{1}{4} \sum\limits_{i=3}^{n} \dfrac{F_{i-2}}{2^{i-2}} \\ &=\dfrac{3}{4}+\frac{1}{2} \sum\limits_{i=2}^{n-1} \dfrac{F_{i}}{2^{i}}+\dfrac{1}{4} \sum\limits_{i=1}^{n-2} \dfrac{F_{i}}{2^{i}} \\ &=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\left(S_{n-1}-\dfrac{1}{2}\right)+\frac{1}{4} S_{n-2} \\ &=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} S_{n-1}+\dfrac{1}{4} S_{n-2} \end{aligned}$
利用及可知对都有;现设对都有,那么有

所以,命题成立.

高中奥数 2022-02-14

你可能感兴趣的:(高中奥数 2022-02-14)