2022-02-19-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P097 习题22）
证明:对任意正奇数,都可以找到一个正整数,使得它们的乘积在十进制表示下,各数码都是奇数.
证明
设为正奇数,若,则,数列中必有两个数同余.即存在,使得,也就是说,所以,命题获证.
若,设,,.我们先证下述引理.
引理对任意正整数,存在一个仅出现数码1,3,5,7,9的位正整数,使得.
对此引理用归纳法证明.当时,取即可.设时,存在一个位数,的数码都属于,且.考虑下面的数
若,则令即可;若,设,其中,.注意到,故构成的一个简化剩余系,于是,可选择,使得,从而令,就有,且的数码都属于.引理获证.
回到原题,由引理可知存在一个位数,使得,于是,数列(这里表示将个连续写出得到的正整数)中,必有两两个同余,利用第一种情形的方法可知命题也成立.
2022-02-19-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P097 习题23）
记,这里表示的各数码之和.
(1)证明:中存在无穷多个数,其十进制表示中数码出现的次数相同;
(2)证明:对任意,中有一个恰好是位的正整数.
证明
(1)令.则,并且由,可知.现设,且的十进制表示中出现的次数相同,我们设为位数,并取,则十进制表示下,中出现的次数相同,而且,又,结合,可知依此结合数学归纳法可得结论(1)成立.
(2)引理对任意,存在一个仅出现数码1和2的位正整数使得.
此引理仿上题中引理的证明可得.
回到原题,当时,分别取数1,12,112,4112和42112可知命题成立.
当时,在中寻找一个位数的想法是:找,使得的末位数是引理中的,然后在的前面恰当填写非零数字,并且形成的位正整数的数码和为,这里待定.
上述存在的一个充分条件是
由于,因此若下式满足,则成立.
即
下证:当时,存在满足.
事实上,设是满足的最大正整数,则.这表明:如果,那么满足.
注意到,,故上述,这时(此不等式可对归纳予以证明),即,从而满足.
综上可知,结论(2)成立.
2022-02-19-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P097 习题23）
是否存在一个由正整数组成的无穷数列?使得
(1)每一项都不是另外任意一项的倍数;
(2)该数列中任意两项都不互素,但没有一个大于1的正整数能够整除该数列的每一项.
解
存在符合条件的数列.
将所有大于5的素数从小到大排列,得到数列;再定义数列如下,,,.现在定义数列为,,我们证明数列符合条件.
注意到,对下标有,所以中没有一项是另外任何一项的倍数,故(1)满足.进一步,若,则,10或15;若,由于6,10,15两两不互素,可知.另外,,,,而且每一个大于5的素数至多整除中的一项,因此,没有一个大于1的正整数能整除中的每一项,故(2)亦满足.