2021-07-15-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P103 习题1）
方格表中具有公共点的小方格称为相邻的.试问,在的方格表中共有多少对相邻的小方格?
解
可将相邻方格对分为类:竖向相邻对,横向相邻对,斜向相邻对(如图).
易知,竖向相邻对与横向相邻对各有个;斜向相邻对有个.故共有相邻的小方格个.
2021-07-15-02
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P103 习题2）
在所有四位数的号码(从到)中,有多少个号码的前两位数字之和同末两位数字之和相等?
解
它们的前两位数字之和与末两位数字之和等于固定的,共有这样的四位数个.
2021-07-15-03
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P104 习题3）
用、、三个数字来构造六位数,但是不允许有两个连着的出现在六位数中(例如是允许的,就不允许),问这样的六位数共有多少个?
解
六位数中不可能出现个或个以上的.符合要求的六位数中,不含的有个,恰含个的有个,恰含个的有个,恰含个的有个.共有个.
2021-07-15-04
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P104 习题4）
某个国王的位骑士围坐在他们的圆桌旁,他们中间的位被选派去杀一条恶龙.问被挑到的位骑士中至少有两位是邻座的选派方法有多少种?
解
一种情况是,位骑士依次相邻,有种选法;另一种情况是,两位骑士是邻座,此时第三位骑士就不选在已经邻座的两位骑士的两旁,也就是说第三位只能在位中任选一位,这样有种选法.因此,共有选法种.
2021-07-15-05
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P104 习题5）
三边长为互不相等的自然数的三角形中,最大边长恰为的共有个.求的值.
解
设三角形三边的长是、、,且,其中、、都是自然数,显然,最短边的长满足.现固定来求所构成的三角形的个数.当为奇数时,由下表
知三角形的个数为.
类似地,当为偶数时,,,解得.
2021-07-15-06
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P104 习题6）
在中,有多少个正整数既不是的倍数,又不是的倍数?
解
设,,.于是.
2021-07-15-07
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P104 习题7）
已知某中学共有学生人,其中男生人,高中学生人,团员人,高中男生人,男团员人,高中团员人,高中男团员人.试问这些统计数据是否有误?
解
设,,,则,,,,,,.于是.但某中学的学生总数仅为,矛盾.故统计有误.
2021-07-15-08
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P105 习题8）
一次会议有位数学家参加,每人至少有位合作者.证明:可以找到位数学家,他们中每两个人都合作过.
证明
记数学家为,与合作过的数学家的集合为.
不妨设数学家与合作过.由知,有数学家不妨设与,都合作过.
又,
故存在数学家,不妨设为;,即与、、都合作过.从而有数学家、、、两两合作过.
2021-07-15-09
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P105 习题9）
计算不超过的合数和素数的个数.
解
设,,,.
则由容斥原理可知,而、、、也在个数之中,它们都不是合数,故合数为(个).又不是素数,故素数个数为(个).
2021-07-15-10
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P105 习题10）
由数字、和组成位数,要求位数中、和中的每一个至少出现一次.求所有这些位数的个数.
解
设,则.
记,
,
.
于是表示所有含有数字的位数,且,,,,.因此,
.