浅析欧几里德算法 GCD和LCM

前言

欧几里德算法作为有着非常简短的实现的算法，可能很多初学者（包括当时的我）都不求甚解。本文给出了GCD、LCM的性质，以及欧几里德算法的实现、证明和时间复杂度推导。

这里是我的个人网站：
https://endlesslethe.com/gcd-lcm-euclidean-algorithm.html
有更多总结分享，最新更新也只会发布在我的个人网站上。

什么是欧几里得算法

最大公约数问题是最早被研究的算法问题之一了，并且是ACM竞赛中能涉及到的很多数论内容，比如模线性方程，模线性方程组的基础。

欧几里得算法 (Euclidean algorithm) ，即大部分选手所知的“辗转相除法”，其核心在于不断将两数规模变小，最后实现对数时间内求解两个数的最大公约数。

其核心是：\[gcd(a,b) = gcd(b, a % b)\]

名词解释

1. 最大公约数：即最大公因子，能够同时整除a和b的最大因子，记作gcd(a, b)，或gcd
2. 最小公倍数：能够被a和b整除的最小数，记作lcm(a, b)，或lcm。
3. %：指的是取余运算（取模运算），用例： a % b
4. |：指的是整除运算，a | b表明a可以整除b，即a是b的因子

GCD和LCM的一些性质

1. a, b都能分解为有限个素数的积
2. gcd(a, b)中只含a,b的全部公共素因子
3. lcm(a, b)中含有a,b的所有素因子
4. \(gcd%lcm=0\)
5. \(gcd * lcm = a * b\)
6. \(lcm/gcd = a/gcd * b/gcd\)
7. \(gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b)\)
8. \(lcm(ka, kb) = k * lcm(a, b)\)
9. \(lcm(\frac{a}{b},\frac{c}{d})=\frac{lcm(a,c)}{gcd(b,d)}\)

简单证明

这里只证明第六个性质：\[gcd * lcm = a * b\]
根据\(a / gcd\) 和 \(b / gcd\) 这两个数互质，且两者包含a、b的非公共素因子
故\[lcm = gcd * (a / gcd) * (b / gcd)\\
lcm = (a * b) / gcd\]
所以\(a*b = gcd * lcm\)

Note：我们习惯写为lcm = a / gcd * b，以此来避免溢出。而且通常使用变形后的等式性质七。

直观理解欧几里德算法

我们不妨设\(a = m * gcd\), \(b = n * gcd\)
那么通过恒等式\(gcd(a,b) = gcd(b, a % b)\)，a将减少若干个b即（n*gcd）到\(a % b * gcd\)
交换后\(a = n * gcd, b = a % b * gcd\)

因为每次交换都会减少很多个gcd，无疑是很快的（后面会证明，至少是对数的）

欧几里德算法实现

等式\(gcd(a,b) = gcd(b, a % b)\)可以理解为一个数减小，再两个数交换。
因为两个数的值经过循环不断变小，在结束循环前，两个数不可能小于0，且不可能同时为0。
所以最后b先变为0，且有
\[gcd(a_n,b_n)=\cdots=gcd(a_{n−1},b_{n−1})=gcd(a_0,0)\\
a_0 = gcd(a, b)
\]

递归版

ll gcd(ll a, ll b) {
   return !b ? a : gcd(b, a%b);
}

迭代版

ll gcd(ll a, ll b) {
    while (b != 0) {
        ll res = a % b;
        a = b;
        b = res;
    }
    return a;
}

证明gcd(a,b) = gcd(b, a % b)

\[
我们为了简化，默认a>b：\\
设gcd(a,b)=d,gcd(b,a-bx)=e,\\
∵d|a,d|b\\
∴d|a-bx\\
∴d|gcd(b,a-bx)，即d|e\\
∵e|b,e|a-bx\\
∴e|bx+(a-bx)，即e|a\\
∴e|gcd(a,b)，即e|d\\
∴d=e\\
证毕。
\]

斐波那切数列和GCD

斐波那契数列有这样一条性质：
\[gcd(F_n,F_m)=F_{gcd(n,m)}\]

证明见参考文献VII“斐波那契数列与gcd之间一个有趣的定理”

时间复杂度

最差时间复杂度

这里给结论：欧几里得算法最差的情况下就是斐波那契数列相邻的两项
即：\[F_{s} \leq a \leq F_{s+1}\]
a为两个数中较大的，s为最大操作次数(最坏时间复杂度)，F为斐波那契数列。

平均时间复杂度

给结论：\(s = (12 * \ln 2 * \ln N) / π ^ 2 + 1.47\) (N为其中较小的那个数)

不过上面的结论需要大量的数学推导，我们不妨根据斐波那切数列的通项公式来理解：
则s的增长速度是对数，时间复杂度是对数的

证明

我给出一个自己的证明，其他证明可以见参考文献：
\[
为了方便理解递推关系式，设一共会辗转n次，a_n=a, b_n=b\\
即gcd(a_n,b_n)=\cdots=gcd(a_{n−1},b_{n−1})=gcd(a_0,0)\\
因为有gcd(a_n,b_n) = gcd(b_n, a_n % b_n) = gcd(a_{n-1}, b_{n-1})\\
存在关系a_{n-1}=b_n,a_n=t * b_n+b_{n-1}\\
不妨推广为a_{k-1}=b_k,a_k=t * b_k+b_{k-1}\\
将a_k、b_k用a_{k-1}、b_{k-1}表示\\
得到递推式：ak=tb_k+b_{k-1}=ta_{k-1}+a_{k-2}\\b_k=a_{k-1}
\]

为了让an和bn尽量小（达到最坏时间复杂度），我们应该让t=1：\[a_k=a_{k-1}+a_{k-2}\\b_k=a_{k-1}\]

	第0次	第1次	第2次	第3次	第4次	…	第n次
a	gcd	gcd	2*gcd	3*gcd	5*gcd		Fn*gcd
b	0	gcd	gcd	2*gcd	3*gcd		Fn-1*gcd

故对于\(a=F_n * gcd,b=F_{n-1} * gcd\)，欧几里德算法会达到最坏的复杂度。

题目总结

• Uva 11388
  只需要利用性质六即可

• HIT OJ 2010 GCD & LCM Inverse
  可以根据性质六+暴力枚举通过HIT OJ，但不能通过POJ 2429，代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

typedef long long ll;

ll gcd(ll a, ll b) {
   return !b ? a : gcd(b, a%b);
}

int main() {
    ll x, y;
    while (cin >> x >> y) {
    	ll t = y / x;
    	for (ll i = sqrt(t); i > 0; i--) {
    		if (t % i == 0) {
    		    if (gcd(t / i, i) == 1) {
    			    cout << i * x << " " << y / i << endl;
    				break;
    			}
    		}
    	}    
        }
        return 0;   
}

• Zoj 1577 GCD & LCM
  需要素因子分解，暴力分解可过

• POJ 2429 GCD & LCM Inverse
  将HIT OJ 2010暴力枚举修改为素因子分解，然后暴力计算最接近sqrt(lcm/gcd)的组合，即可通过POJ。

• POJ 3101
  可以根据相对速度，也可以根据公式\(\frac{x}{a}%\frac{1}{2}=\frac{x}{b}%\frac{1}{2}=\frac{x}{c}%\frac{1}{2}\)
  化简一下都是同一个东西，然后根据分数的gcd公式。需要高精度。

参考文献

I. 欧几里得算法原理
II. 关于lcm,gcd的一些性质
III. ACM数论之旅3—最大公约数gcd和最小公倍数lcm（苦海无边，回头是岸(￣∀￣)）
IV. 欧几里得算法证明
V. 数论学习小记 其之三 Gcd与Lcm
VI. 【POJ3101】Astronomy——分子的最小公倍数
VII. 斐波那契数列与gcd之间一个有趣的定理
VIII. gcd常见结论及gcd与斐波那契结合–hdu6363.
IX. 辗转相除法求最大公约数(gcd)的斐波那契数列(fib)最坏时间复杂度的证明
X. 欧几里得算法(即辗转相除法)的时间复杂度
XI. 欧几里得算法时间复杂度简单分析