iOS中的高精度数值计算

前言

在iOS开发中，和价格计算相关的，需要注意计算精度的问题，使用float、double来计算价格数值会出现精度损失，使用官方的NSDecimalNumber是更好的选择。

本篇文章探讨下浮点数的精度损失，以及在iOS中高精度计算的处理

1.浮点数的表示

现在所有通用计算机都采用IEEE 754来表示浮点数， IEEE二进制浮点数算术标准是20世纪80年代以来最广泛使用的浮点数运算标准，为许多CPU与浮点运算器所采用。

IEEE 754规定，一个浮点数可以表示成如下形式**

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32位的单精度浮点数，最高1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位是有效数字M
64位的双精度浮点数，最高1位是符号位s，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M

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以float举例

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float的存储正是将四字节的32位划分成了三部分，分别是：

Sign（1位）：用来表示浮点数是正数还是负数，0表示正数，1表示负数。

Exponent（8位）：阶码或者称为指数，用移码表示（将每一个数值加上一个偏置常数 bias，当编码位数为n时，IEEE 754标准的bias取 (2^n-1)-1，单精度为为127, 双精度为1023，把阶码的值调整到一个无符号数的范围内以便进行比较） ,全0或全1用来表示特殊值。其真实值，单精度要减去127，双精度减去1023

Mantissa（23位）：尾数部分，1≤M<2，即M可以写成1.xxxxx的形式，其中xxxxx表示小数部分。IEEE 754规定小数点前总为1，所以在内部保存时隐含表示，省一位。

十进制向二进制的转换

1. 十进制整数转换为二进制整数
   十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余，逆序排列"法。具体做法是：用2去除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为零时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。
   把 173 转换为二进制数。

image.png

2．十进制小数转换为二进制小数
十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整，顺序排列"法。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数 部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。
然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。

把 0.8125 转换为二进制小数。

image.png

浮点数和真值转换的两个例子

一、已知float型变量x的机器数为BEE00000H,求x的值是多少？
1 01111101 11000000000000000000000 (末尾补零)

按照(-1)^s x (mantissa) x 2^(Exponent-127)
数符：1 负数
阶码：二进制的01111101转换到十进制为125 ，125-127=-2
尾数部分的值：1+2^（-1） +2^（-2） = 1+0.5 +0.25 = 1.75

所以真值为-1.75 * 2^(-2) = - 0.4375

二、已知float型变量x的值为-12.75，求x的机器数是多少？

-12.75 = -1100.11B
= -1.10011 * 2^3

所以符号位s为1，阶码E = 127+3 = 128+2 = 1000 0010 显式显示的部分尾数：100 1100 0000 0000 0000 0000
x的机器数表示：1 10000010 100 1100 0000 0000 0000 0000

舍入

因为表示方法限制了浮点数的精度和范围，所以浮点数只能近似的表示实数运算。对于值x，我们一般想用一种系统的方法找到“最接近的”匹配值，它可以用期望的浮点形式表示出来。这就是舍入运算的任务。IEEE浮点格式定义了四种不同的舍入方式，默认的方法是找到最接近的匹配，而其他三种可用于计算上界和下界。
四种舍入方式 ：
向偶数舍入（默认）
向零舍入
向下舍入
向上舍入

浮点数的精度误差的原因

了解了浮点数的结构，总结一下精度误差原因

1. float类型占32位，一共有2^32种组合， double类型占64位，一共有2^64种组合, 而实数是无穷的，当输入的数据是不可表示数时，会将其转化为最邻近的可表示数

2.有些十进制数，无法用有限的二进制浮点数表示。 比如0.1，转换为二进制 0.0 0011 0011 0011...无限循环，当你声明float m = 0.1时，其存储的数值精度已经发生了变化

2.iOS中高精度计算的处理

很多语言中都有相应的高精度计算方式，如Java中的BigDecimal类，C#中的decimal类型都是用来解决高精度计算问题的。Objective-C中提供的有一个NSDecimalNumber类，用来处理精确计算。

NSDecimalNumber是NSNumber的一个不可变子类，创建之后不能改变它们的值。 它提供了一个面向对象的包装器来做base-10算术。实例可以表示任何可以用mantissa x 10^exponent表示的数字，其中mantissa是一个长度不超过38位的十进制整数，exponent是一个从-128到127的整数。

其表示的值 value = sign mantissa*10^exponent
sign：符号位，定义了它是正数还是负数，
mantissa：尾数，unsigned long long类型
exponent：指数，决定了小数点在尾数中的位置

比如 15.99，
NSDecimalNumber price = [NSDecimalNumber decimalNumberWithMantissa:1599 exponent:-2 isNegative:NO];
NSDecimalNumberprice = [NSDecimalNumber decimalNumberWithString:@"15.99"];
可以使用字符串或者手动装配mantissa、exponent、sign的构造方法来生成一个NSDecimalNumber实例

基本的算术方法

加法
- (NSDecimalNumber *)decimalNumberByAdding:(NSDecimalNumber *)decimalNumber;

减法
- (NSDecimalNumber *)decimalNumberBySubtracting:(NSDecimalNumber *)decimalNumber;

乘法
- (NSDecimalNumber *)decimalNumberByMultiplyingBy:(NSDecimalNumber *)decimalNumber;

除法
- (NSDecimalNumber *)decimalNumberByDividingBy:(NSDecimalNumber *)decimalNumber;

幂次方
-(NSDecimalNumber*)decimalNumberByRaisingToPower:(NSUInteger)power;

指数
-(NSDecimalNumber*)decimalNumberByMultiplyingByPowerOf10:(short)power;

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自定义处理行为

- (instancetype)initWithRoundingMode:(NSRoundingMode)roundingMode scale:(short)scale raiseOnExactness:(BOOL)exact raiseOnOverflow:(BOOL)overflow raiseOnUnderflow:(BOOL)underflow raiseOnDivideByZero:(BOOL)divideByZero NS_DESIGNATED_INITIALIZER;

+ (instancetype)decimalNumberHandlerWithRoundingMode:(NSRoundingMode)roundingMode scale:(short)scale raiseOnExactness:(BOOL)exact raiseOnOverflow:(BOOL)overflow raiseOnUnderflow:(BOOL)underflow raiseOnDivideByZero:(BOOL)divideByZero;

// Rounding policies : 
 // Original
 // value 1.2 1.21 1.25 1.35 1.27 
 // Plain 1.2 1.2 1.3 1.4 1.3 
 // Down 1.2 1.2 1.2 1.3 1.
 // Up 1.2 1.3 1.3 1.4 1.3
 // Bankers 1.2 1.2 1.2 1.4 1.3

roundingMode 要使用的舍入模式，有四种值： 
NSRoundUp, 向上舍入
NSRoundDown, 向下舍入
NSRoundPlain  四舍五入;当被夹在两个正数中间时，取整;当被夹在两个负数之间时，四舍五入。
NSRoundBankers  四舍五入;当为中间值时，将数值向上或向下舍入，使得结果的最低有效数字是偶数。

NSRoundBankers比较特殊，保留位数后一位的数字为5时，根据前一位的奇偶性决定。为偶时向下舍入，为奇数时向上舍入。如：1.25保留一位小数。5之前是2偶数向下取整1.2；1.35保留一位小数时。5之前为3奇数，向上取整1.4。
关于向偶数舍入，摘自csapp第二章 IEEE浮点部分：有什么理由偏向取偶数呢？为什么不始终把位于两个可表示的中间的值都向上舍入？假想一种场景，这组方法舍入一组数值，会在计算这些值的平均数中引入统计偏差。向上舍入得到的一组数的平均值比这些数平均值偏高，向下舍入的话，得到的平均值比这些数的平均值略低一些。 向偶数舍入在大多数现实情况避免了这种统计偏差。在50%的时间里向上舍入，50%的时间里向下舍入。

scale 结果保留几位小数

raiseOnExactness
如果为YES，在发生精确错误的情况下，处理程序将引发异常，否则它将忽略该错误并将控制权返回给调用方法。

raiseOnOverflow
如果为YES，在发生溢出错误时，处理程序将引发异常，否则它将忽略该错误并将控制权返回给调用方法

raiseOnUnderflow
如果为YES，则在发生下溢错误时，处理程序将引发异常，否则它将忽略该错误并将控制权返回给调用方法

raiseOnDivideByZero
如果为YES，则在出现除零错误时，处理程序将引发异常，否则它将忽略该错误并将控制权返回给调用方法

decimalNumber的比较

- (NSComparisonResult)compare:(NSNumber *)decimalNumber;

参考链接

计算机系统基础(一)：程序的表示、转换与链接
计算机组成原理（唐朔飞）
书籍《深入理解计算机系统》
关于OC中的小数精确计算
十进制小数转换为二进制
浮点数之迷